Polynômes orthogonaux

38 On note R[X] l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels. n ∀ P ∈ E, on pose N1 (P ) = n ai X i avec n |ai | et N∞ (P ) = max |ai | où P = 0≤i≤n i=0 deg P . i=0 1. (a) Démontrer que N1 et N∞ sont des normes sur R[X]. (b) Démontrer que tout ouvert pour la norme N∞ est un ouvert pour la norme N1 . (c) Démontrer que les normes N1 et N∞ ne sont pas équivalentes. 2. On note Rk [X] le sous-espace vectoriel de R[X] constitué par les polynômes de degré inférieur ou égal à k. On note

r) + (n − r)p = pn − r2 . Correction de l’exercice 5 1. u est dans L(E) car u est linéaire et si P est un polynôme de degré au plus n alors u(P) est un polynôme de degré au plus n. • Les polynômes constants sont dans Keru. Réciproquement , soit Pun élément de Keru puis Q = P − P(0). Par hypothèse, P(0) = P(1) = P(2) = ... et donc 0, 1, 2, ... sont des racines de Q. Puisque le polynôme Q admet une infinité de racines, Q est nul et donc P = P(0) et P ∈ K0 [X]. Ainsi, Keru = K0 [X]. • Mais alors,

arithmétique telle que u2 = 5 et u8 = –2 . Calculer u100 . H 2.9. Soit le cube ABCDEFGH ci-contre. On définit le→ → repère orthonormal → ( A ; AB ; AD ; AE ) . → → Déterminer les coordonnées de AG , BE → et ED . En déduire que (AG) est orthogonale au plan (BED) . G E D C A B F 2.10. Établir le tableau de variations de la fonction f : x ֏ (x – 2) ex . 2.11. Déterminer la distance du point A ( 1 ; 1 ; –2 ) au plan P d'équation 2x – 3y + z = 1 . 2.12. Déterminer les solutions de l'équation

arg ( z ) = - arg z [2π] ; arg (- z) = arg z + π [2π] • arg(zz') = arg z + arg z' [2π] • → → AB et AC sont colinéaires zC - zA ⇔ ∈ IR* zB - zA → → AC = α AB , α ∈ IR* z zA  ⇔ arg  C  = 0 [π]  zB - zA  ⇔ → → → → AB et AC sont orthogonaux ⇔ AB . AC = 0 zC - zA ⇔ est imaginaire pur non nul ⇔ zB - zA z - zA  π arg  C  = [π]  zB - zA  2 L'application qui au point M d'affixe z associe le point M' d'affixe z' = z + a → où a est un nombre complexe fixé, est la translation de vecteur

les valeurs propres de A. On a donc la relation λi = ξi dès que toutes les valeurs propres de A sont non nulles. On montre (cf. annexe) que p Φ(λ) = = λ − p i=1 i=1 p ai λp−i (II.6) (λ − λi ) Ainsi, si toutes les racines de ce polynôme ont une partie réelle négative −1 (pour λi = ξi , R(ξi ) = 1/R(λi ) et donc [R(ξi ) < 0 ⇔ R(λi ) < 0] ), le processus solution de l’équation différentielle est stable. Le passage au processus discret associé se fait naturellement : on sait que xk

on a : u (a ) ≤ u (b ) et donc −u (a ) ≥ −u (b ) soit g (a ) ≥ g (b ). Donc g est décroissante sur I. b. Cas 2 : λ réel non nul Remarque Ici aussi, une transformation permet de passer de Ꮿ à Ꮿ’, cette transformation (c’est une affinité orthogonale d’axe (Ox) et de rapport λ !) n’est pas étudiée au lycée. On peut retenir simplement qu’à partir d’un point de Ꮿ, on obtient un point de Ꮿ’ en multipliant l’ordonnée par λ. Graphiquement, on déduit de ce qui précède la propriété suivante.

Déterminer l’ensemble des points M de l’espace tels que : (MA+MB).MA=0 ORAL 14 Exercice 1 – A est le point de coordonnées (1;2;−3) et P le plan d’équation 2x−y+z+1=0. a) Déterminer une représentation paramétrique de la droite D passant par A et orthogonale au plan P. b) Calculer les coordonnées du point d’intersection de D et de P. Exercice 2 – Sur une route, un automobiliste rencontre successivement deux feux tricolores de circulation A et B. Ces feux fonctionnent de manière indépendante. La probabilité

Analyse 107 16. Ensembles, fonctions et hypothèse du continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 17. À la gloire des inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 18. Un théorème de Pólya sur les polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 19. Sur un lemme de Littlewood et Offord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 20. La fonction cotangente et l’astuce de Herglotz . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 21. Le problème

Factorisation de polynômes 5.1 Polynômes de degré n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Factorisation de polynômes du deuxième degré . . . . . . . . 5.3 Division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1 Schéma de Horner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Le lemme de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1 Bonus : une preuve que la racine de 2 est irrationnelle 5.5 Factorisation de polynômes de degré supérieur à deux . . . . 5.6 Polynômes irréductibles

C(8,8) 1/8 0 C=CovA = 0 s2(XTX)–1 0 0 1/8 0 0 0 0 1/8 0 0 0 0 1/8 Etoile décentré C(4,4) 1/2 1/4 1/4 1/2 1/4 1/2 1/4 1/2 1/4 1/4 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1 Etoile centré C(4,4) 1/2 0 0 0 0 1/2 0 0 0 0 1/2 0 0 0 0 1/6 orthogonal équilibré optimal interactions non non non non orthogonal non non non 31 • La précision des coefficients peut être caractérisée par leur variance qui correspond aux termes diagonaux des matrices. Ainsi la variance de la moyenne est égale à s2 pour le plan décentré