Polynômes orthogonaux

réelle, 0 ; Cette formule est utile en particulier pour linéariser les polynômes trigonométriques (dans le but par exemple de calculer leurs intégrales). Un polynôme trigonométrique est une somme de termes du type (sin θ)p (cos θ)q avec p, q ∈ N ; le linéariser, c’est l’exprimer comme une somme de termes de la forme sin kθ ou cos kθ. Pour cela, on commence par remplacer grâce à la formule de Moivre dans le polynôme eiθ + e−iθ eiθ − e−iθ et cos θ = . Puis, à l’aide de la tous les cos θ

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 Corrigés des problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 CHAPITRE 8 • FONCTIONS ORTHOGONALES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 Rappels de cours. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

LE BTS HÔTELLERIE Michel CHARRIER 18 janvier 2008 2 Chapitre 1 Equations et polynômes du troisième degré 1.1 1.1.1 Définitions Equation et polynôme du troisième degré Equation Toute égalité de la forme ax3 + bx2 + cx + d = 0 où a, b, c, et d sont des coefficients réels, a étant non nul. On se propose de donner des méthodes de résolution dans R dans le cas où une solution est "évidente". Polynôme du troisième degré à coefficients rationnels Toute expression de la forme : P (x) = ax3

reposent sur l'utilisation des propriétés des polynômes dans un corps fini. Le contrôle de redondance cyclique (CRC pour cyclic redundancy check)[13] consiste à considérer un bloc de données comme la représentation des coefficients d'un polynôme que l'on divise ensuite par un polynôme fixe et prédéterminé. Les coefficients issus de cette division constituent le CRC et servent de code correcteur. La vérification des données se fait en multipliant le polynôme fixe par les coefficients du CRC et en comparant

l'orthogonal pour b de         1 0 1 1 F = Vec  0  ,  0  , de G = Vec  1  ,  0  . 1 0 1 0 Comparer avec les résultats du cours sur la dimension de l'orthogonal. Exercice 1  Exercice 2 Soit R2 [X] l'espace vectoriel des polynômes de degré ≤ 2 à coecients réels. Calculer la matrice dans la base (1, X, X 2 ) de la forme bilinéaire symétrique 1 (P, Q) −→ 0 P (t) Q(t) dt . Est-ce que cette forme bilinéaire symétrique est dégénérée ? Quel est son noyau ? Mêmes questions

II Arithmétique 34 34 36 37 38 39 14 Congruences 15 Pgcd 16 Relation de Bézout 17 Factorisation en nombres premiers 18 Propriétés de Q 1 19 Propriétés de Z/nZ 40 III Polynômes 42 42 45 48 51 52 53 54 56 58 20 Polynômes 21 Division euclidienne 22 Racines de polynômes 23 Polynômes irréductibles 24 Fonctions symétriques 25 Fractions rationnelles 26 Décompositions de fractions rationnelles 27 Décomposition en éléments simples 28 Division suivant les puissances croissantes

son ex : f ( −3) = ( −3 ) = 9 = 3 2 = f ( 3) . En fait, quelque soit x dans » , on a : f ( − x ) = ( − x ) = x 2 = f ( x ) ; donc : 2 Propriété 1 : La fonction carré est paire : pour tout x réel, on a : f ( − x ) = f ( x ) . Dans un repère orthogonal, sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Tableau de variation: x B' B -∞ 0 +∞ f ( x) 0 A' A Propriété 2 : La fonction carré est décroissante sur ] − ∞ ;0] et elle est b' a' O a b croissante

direction est celle du vecteur orthogonal à g (voir aussi la commande VecteurOrthogonal). Droite parallèle (code 3) En sélectionnant une ligne g et un point A, créé ou non, vous créez une droite passant par A parallèle à g. Dans la Fenêtre Algèbre vous lisez l’équation de la droite. Sa direction est celle de g. Médiatrice (code 8) La médiatrice est construite sur un segment s ou deux points A et B, créés ou non. Note : Sa direction est celle du vecteur orthogonal au segment s resp. à la droite

direction est celle du vecteur orthogonal à g (voir aussi la commande VecteurOrthogonal). Droite parallèle (code 3) En sélectionnant une ligne g et un point A, créé ou non, vous créez une droite passant par A parallèle à g. Dans la Fenêtre Algèbre vous lisez l’équation de la droite. Sa direction est celle de g. Médiatrice (code 8) La médiatrice est construite sur un segment s ou deux points A et B, créés ou non. Note : Sa direction est celle du vecteur orthogonal au segment s resp. à la droite

Niveau : 1e Fiche méthode : équation de la tangente à une courbe F. Demoulin −ı , → − . Soit f une fonction définie sur un intervalle On rapporte le plan à un repère orthogonal O ; → I et x0 ∈ I . On note C f sa courbe représentative dans ce repère. 1 Rappel de cours   ✄ Propriété 1.1 Si f est dérivable en x0 , alors la tangente à C f au point d’abscisse x0 a pour équation réduite : y = f ′ (x0 )(x − x0 ) + f (x0 ) On la note T x0 . ✂ ✁ Illustration graphique : Soient M0 (x0 ; f (x0 )) et