Polynômes orthogonaux

normal à (P) est : → n  2 . −1   −1 → − (P’) a pour équation cartésienne : −x + y + z = 0. Un vecteur normal à (P) est : n ′  1 . 1 → −′ → −′ → − → − Alors : n .n = (1 × (−1)) + (2 × 1) + (−1 × 1) = −1 + 2 − 1 = 0 donc les vecteurs n et n sont orthogonaux. Les plans (P) et (P’) sont perpendiculaires. 2. Les deux plans étant perpendiculaires, ils se coupent selon une droite (d). Les coordonnées (x ; y ; z) des points de (d) vérifient les deux équations des plans et sont solutions du système formé

géométrique d'un point M à la règle et au compas, pour l ∈ )) NOM et PRENOM : ……………………........................................ S 1 ? S 2 ? (Entourez) Exercice 5 (environ 4,5 points) : On donne ci-dessous, dans un repère orthogonal du plan, les paraboles C et C) représentatives des fonctions trinômes du second degré suivantes : f : x |⎯→ a x+ b x + c, et g : x |⎯→ a'x + b' x + c’, définies sur Ë. Pour chacune des questions suivantes, il y a une seule bonne

1 = 0. Un vecteur normal à (P) est : →  2 . n −1   −1 → − (P’) a pour équation cartésienne : −x + y + z = 0. Un vecteur normal à (P) est : n ′  1 . 1 −′ →.→ = (1 × (−1)) + (2 × 1) + (−1 × 1) = −1 + 2 − 1 = 0 donc les vecteurs → et → sont orthogonaux. Les plans (P) et (P’) sont − −′ − Alors : n n n n perpendiculaires. 2. Les deux plans étant perpendiculaires, ils se coupent selon une droite (d). Les coordonnées (x ; y ; z) des points de (d) vérifient les deux équations des plans et sont

garde, sinon on prend son symétrique par rapport à l’axe des abscisses. 2. g 1 1. On prend le symétrique par rapport à l’axe des abscisses du point de f d’abscisse x. 2. Symétrie orthogonale d’axe ( Ox ) . y f y 1 –5 –2 O f 1 2x O 3 x g 3 1. et 2. On fait une symétrie orthogonale d’axe l’axe des ordonnées. Chap. 1 • Généralités sur les fonctions • 7 y g f 1 –3 O 1 3 x 2. a) Pour tout réel x, f ( – x ) = f ( x ) donc g ( f ( – x ) ) =

en extraire un système libre et pour les systèmes libres les compléter par des vecteurs de la base canonique pour obtenir une base de ,,, , SEV de (a) Dans on donne les polynômes : P1(x)=x(x-1)(x-2) ; P2(x)=x(x-2)(x-3) ; P3(x)=x(x-1)(x-3) ; P4(x)=(x-1)(x-2)(x-3) Forment-ils un système libre ? (b) Même question avec les polynômes : Q1(x)=(x-1)3; Q2(x)=(x-1)2(x-2); Q3(x)=(x-1)(x-2)2; Q4(x)=(x-2)3 Applications linéaires Équations différentielles a) Montrez qu'une équation différentielle (voir définition

. . . . . . . . 195 195 195 196 197 197 197 198 6 TABLE DES MATIÈRES B Bases de Gröbner B.1 Les polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.1.1 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.1.2 Relation d’ordre sur les polynômes de K [x1 , . . . , xn ] B.1.3 Division d’un polynôme par une suite de polynômes. B.2 Bases de Gröbner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.2.1 Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

l’approximation affine de 1+xn lorsque x≈0 est : a) 1+nx b) 1+xn c) n+x 5) La parabole ci-contre est la courbe représentative d’une fonction polynôme du second degré f dans un repère orthogonal. Parmi les trois représentations graphiques ci-dessous, une courbe ayant pour dérivée la fonction f. Laquelle ? (justifier la réponse) II) Vrai ou Faux. Les courbes ci-contre représentent une fonction f dérivable

de Newton-Raphson. Chapitre 2 : Interpolation polynomiale 2 semaines 1. Introduction générale, 2. Polynôme de Lagrange, 3. Polynômes de Newton. Chapitre 3 : Approximation de fonction : 2 semaines 1. Méthode d’approximation et moyenne quadratique. 2. Systèmes orthogonaux ou pseudo-Orthogonaux. Approximation par des polynômes orthogonaux, 3. Approximation trigonométrique. Chapitre 4 : Intégration numérique 2 semaines 1. Introduction générale

produit scalaire → → 1. u.v= 1 → → 2 → 2 → 2 ( |u + v | −|u | −|v | ) 2 → → → → → → → → → → 2. Lorsque u ≠ 0 et v ≠ 0 , u . v = | u | . | v | . cos( u , v ) → → → → → → → → → 3. Lorsque u ≠ 0 , u . v = u . v ′ où v ′ est le projeté orthogonal de v sur la direction donnée par u . Démonstrations : Notons (x ; y ; z) et ( x ′ ; y ′ ; z ′ ) les coordonnées respectives de u et v . On a alors : |u + v | = → → 2 → → 2 → → ( x + x ′) 2 + ( y + y ′) 2 + ( z + z ′) 2 = x 2 + 2x x ′ +

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1.13. Valeur absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 1.14. Polynômes du second degré ; forme canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2. Nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.1. Description