Polynômes orthogonaux

processus vectoriel des innovations f"t ; t 2 Zg est i:i:d: (0n ; -), et satisfait par conséquent les propriétés suivantes : E ("t ) = 0 ½ ¡ 0 ¢ - j=0 E "t "t¡j = 0 j 6= 0 P1 (1.11) (1.10) De la même façon que pour un AR (1), on peut donc exprimer le polynôme matriciel © (L), de dimension (n; n), de la façon suivante : X1 © (L) = ©i Li = In + ©1 L ¡ ©2 L2 ¡ ::: ¡ ©p Lp i=0 où In désigne la matrice identité (n; n) : On pose les dé…nitions suivantes : 0 1 0 1 0 i 1 ©1;1 ©i ©i x1;t "1;t 1;2 ::: 1;n B

Cours de première Spécialité mathématiques Fonctions polynômes du second degré (1) Révision p.45 pour revoir de nombreuses notions utiles au chapitre et acquérir quelques notions de rédaction et de logique. La diversité des fonctions numériques de la variable réelle est inimaginable. Certaines fonctions très exotiques n'ont pas encore montré d'intérêt pratique. Certaines servent de contre-exemples pour mettre en évidence les limites du champ d'application d'une propriété. D'autres ont des application

respectives [pic] et [pic]. 9. Tracer, dans le repère D, Δ,[pic], [pic]et [pic] .(On se limitera à[pic] ) Exercice 3 On considère la fonction f définie sur [pic]par [pic] On désigne par C sa courbe représentative dans un repère orthogonal [pic] 1. a. Déterminer la limite de f aux bornes de son ensemble de définition 2. Déterminer les réels a, b et c tels que, pour tout x différent de 3, [pic] 3. Soit la droite Δd'équation y = − x + 2 Démontrer que la droite Δest asymptote oblique

continues Dérivation, développements limités Intégration Courbes paramétrées 85 119 139 189 221 Partie 3 Algèbre 10 Algèbre générale 11 Arithmétique 12 Algèbre linéaire 13 Algèbre linéaire en dimension finie 14 Matrices 15 Polynômes 16 Espaces euclidiens Index 239 251 261 277 301 339 361 393 9782100547678-Fresl-Avt.qxd 8/07/10 12:27 Page IV Avant-propos Cet ouvrage s’adresse aux élèves de première année de classes préparatoires scientifiques. Il

[Centrale 1] ('18) On considère l'arc Γ : { x(t) = cosh(t) y(t) = sinh(t) 1. Tracer la courbe paramétrée et donner les équations des asymptotes. 2. Pour tout a ∈ R, on dé�nit le point Ωa de coordonnées (0, a). Tracer le point Ma ∈ Γ tel que (ΩaMa) soit orthogonale à la tangente à Γ en Ma. 3. Démonter que ce point existe et est unique. 4. Montrer que ΩaMa est la plus petite distance entre Ωa et tout point M de Γ. II. Régularité des fonctions à plusieurs variables Exercice 4. [Centrale 1] ('18) 1. Énoncer la

carrés unique, donnée par x = AT A A b, si et seulement si le rank(A) = n. Si Ax = b est consistente, alors la solution de Ax = b est la même que celle de moindres carrés. 1.2 La courbe de moindres carrés Le problème est ici de trouver un polynôme de degré donné, p(t) = α0 + α1 t + α2 t2 + · · · + αn−1 tn−1 qui se rapproche autant que possible, dans le sens des moindres carrés, à un ensemble de mesures D = {(t1 , b1 ), (t2 , b2 ), ..., (tm , bm )} , où les ti sont distincts et n ≤ m.

esp`ce (not´s U par Maple). V´o e e e e rifiez que pour tout n (ou tout au moins pour les premiers, jusqu’` 50 au a √ moins) les fonctions U (2n, t) sont des polynˆmes en t: on utilisera la o commande Maple type,polynom. 6) V´rifier que les polynˆmes de la question pr´c´dente sont orthogonaux pour e o e e le produit scalaire (de la question 2)). En d´duire l’expression g´n´rale e e e des un en fonction des polynˆmes de Tchebyshev de deuxi`me esp`ce, et o e e entrez cette expression dans Maple (au moins

978-2-10-053787-7 Table des matières Avant-propos c Dunod. La photocopie non autorisée est un délit. Chapitre 1 : Mathématiques IX 1 1. Algèbre 1.1 Relations 1.2 Structures algébriques 1.3 Nombres entiers, nombres rationnels 1.4 Arithmétique dans Z 1.5 Polynômes et fractions rationnelles 1.6 Généralités sur les applications 1.7 Applications linéaires – Espaces vectoriels 1.8 Matrices – Déterminants – Systèmes linéaires 1.9 Espaces vectoriels euclidiens 1.10 Réduction des endomorphismes 1 1 2 5 7 8 11 12

de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Systèmes de coordonnées . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2 Propriétés du calcul vectoriel . . . . . . . . . . . . 4.2 Le produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Projection orthogonale . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Le produit vectoriel (cross product) . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Interprétation géométrique du produit vectoriel . . 4.4 Le produit mixte (triple product) . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Droites et plans dans

variation de la fonction F. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Exercice 2 : Soit f la fonction définie sur ]1; + ([ par : [pic] . On appelle Cf sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal. 1. Déterminer les limites aux bornes de l’intervalle, qu’en déduit-on pour la courbe Cf ? 2. Montrer que Cf admet une asymptote ( d’équation y = 2 x + 1. Étudier les positions relatives de la courbe Cf et de la droite (. 3. Calculer la dérivée