´thodes Num´riques e e
Contrˆle de TP du 26 janvier 2004, premier groupe. o

Toutes les communications (orales, ´crites ou ´lectroniques) sont interdites. e e Vous devez rendre a la fin de la s´ance un fichier Maple nomm´ ` e e VOTRENOM.mws: attendez le surveillant pour qu’il enregistre votre fichier sur disquette. La premi`re ligne de votre fichier doit ˆtre une ligne de texte avec votre nom. e e Vous devez faire apparaˆ ıtre dans votre fichier les num´ros des questions e auxquelles vous r´pondez (sur des lignes de texte). e N’h´sitez pas a demander conseil plutˆt que de rester coinc´ trop longtemps e ` o e sur une question, les questions ne sont pas toutes ind´pendantes, mais il est e possible de passer sur toute question qui vous r´siste trop. e Tous les documents sont autoris´s, vous avez dans le dossier MethodesNue meriques sur le bureau les ´nonc´s et corrig´s des TP du semestre. e e e 1) Montrez que l’int´grale e
1 0

1 − 1 dt t

est convergente en la faisant calculer par Maple. En d´duire que la fonction e − 1 est une fonction poids acceptable sur [0, 1]: justifiez votre r´ponse e (en faisant un commentaire dans le fichier). 2) Programmez une fonction scal qui a un couple de fonctions (f, g) continues ` sur [0, 1] associe le produit scalaire:
1 1 t

scal(f, g) =
0

f (t)g(t)

1 − 1 dt t

Calculez pour tous i et j compris entre 0 et 15 le produit scalaire des fonctions xi et xj . Calculer la norme de la fonction √ pour ce produit scalaire. 3) D´terminer par l’algorithme de Gram-Schmidt les cinq premiers polynˆmes e o de la base orthonorm´e ´chelonn´e associ´e a ce produit scalaire (obtenus e e e e ` par orthonormalisation de la base canonique (ou par orthogonalisation de la base canonique, suivie d’une normalisation), le proc´d´ est d´crit e e e dans les notes de cours polycopi´es. On n’est pas oblig´ d’utiliser une e e proc´dure, on a le droit, mˆme si ce n’est pas forc´ment la solution la plus e e e rapide, de faire faire l’un apr`s l’autre les