Polynômes orthogonaux

Approximation hilbertienne et polynômes orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . 100 II.1 II.2 II.3 II.4 II.5 II.6 II.7 L’approximation hilbertienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Le procédé d’orthogonalisation de Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . 103 Polynômes orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Les polynômes de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 Les polynômes de Tchebychev . . . . . . . . .

algébriques fondamentaux 1.1 Logique élémentaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Structures algébriques fondamentales . . . . . . . 1.3 Le groupe symétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Arithmétique, combinatoire et dénombrement 1.5 Polynômes et fractions rationnelles . . . . . . . . 1.6 Topologie élémentaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1) I. Fonction polynôme de degré 2 Définition : On appelle fonction polynôme de degré 2 toute fonction f définie sur [pic]par une expression de la forme : [pic] où les coefficients a, b et c sont des réels donnés avec [pic]. Remarque : Une fonction polynôme de degré 2 s'appelle également fonction trinôme du second degré ou par abus de langage "trinôme". Exemples et contre-exemples : - [pic], - [pic], - [pic] - [pic] sont des fonctions polynômes de degré 2. - [pic]

............................................ 4 B. Lors des épreuves ............................................................ 5 Algèbre ...................................................................................... 6 A. Complexes. Polynômes .................................................... 6 B. Algèbre linéaire ............................................................... 9 C. Algèbre bilinéaire .......................................................... 16 Analyse .........

. . . . 10 14.3. Ordre quelconque . . . . . . . . . . . . 10 14.4. Déterminant d’un produit . . . . . . . 10 14.5. Dét. d’une mat. triangulaire par blocs 11 15. Réduction des Endomorphismes 11 15.1. Valeurs propres et vecteurs propres . 11 15.2. Polynôme caractéristique . . . . . . . 15.3. Diagonalisibilité . . . . . . . . . . . . 11 15.4. Diagonalisibilité et diagonalisation . 11 15.5. Triangularisation . . . . . . . . . . . 11 15.6. Puissances d’une matrice . . . . . . . 11 11 11 12 12 . . . .

. . . . . . . . . . . 9 Sous-groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Morphisme de groupe . . . . . . . . . . . . . . . 10 9 13. Réduction des Endomorphismes 13.1. 13.2. 13.3. 13.4. 13.5. 13.6. Valeurs propres et vecteurs propres . Polynôme caractéristique . . . . . . . Diagonalisibilité . . . . . . . . . . . . . Diagonalisibilité et diagonalisation . . Triangularisation (ou trigonalisation) Puissances d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

- Cond ( A) = A . A −1 Esnard Aurélien Algorithmique Numérique - Cond (αA) = Cond ( A) Cond ( A) ≥ 1 avec Cond (Id ) = 1 Soit une matrice Q orthogonale : QX Cond 2 ( A) = 2 = X 2 et Cond (Q ) = 1 Cond 2 ( A) = Les bons conditionnements sont les petits conditionnements (au mieux 1 pour les matrices orthogonales). Pour A symétrique : λ max λ min ; dans la cas général : µ max µ min Théorèmes sur le conditionnement : Théorème : AX = B et A( X + ∆X )

1 2 Erwan Biland - Problèmes MPSI 1 Table des matières Techniques de calculs, nombres complexes 1 2 3 4 5 6 Sommes de puissances de n entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Récurrence, résolution de systèmes, polynômes 7 8 9 10 12 13 Calcul de sommes et de produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Suites numériques, fonctions trigonométriques Ceci n’est pas le triangle de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Résoudre dans . l’inéquation TS 2010.2011 –DAO1.CORRIGÉ Page 1 sur 14 fichier DAO.01 b) i) est dérivable sur de : . Pour tout réel 2. Pour tout réel de , l’équation : équivaut à (car ) Traçons dans un même repère orthogonal les représentations graphiques respectives des fonctions et . ii) Pour tout réel ; ; ; D’où Par conséquent : de : est l’unique solution dans l’équation . de est donc l’abscisse de l’unique point d’intersection de droite d’équation

[pic] [pic] 6) [pic] Exercice 4 : (6 points) Soit f la fonction définie sur [pic] par [pic] = [pic] où a, b, et c sont trois nombres réels. La courbe (C) représentative de la fonction f est donnée dans le repère orthogonal ci-dessous. [pic] Partie A : Déterminer les réels a, b et c sachant que : • La courbe (C) passe par le point A(0 ; 3). • La courbe (C) admet au point A une tangente [pic] de coefficient directeur égal à 1. • La courbe (C) admet au point