Stanislas
Révisions
Révisions d'oraux
T.D.
PSI
2021-2022
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Organisation
� 3 séances de T.D. par semaine en classe entière. Votre présence est nécessaire (hors passage en oral blanc).
� Préparez les exercices et passez au tableau pour proposer vos solutions.
� Des séances d'oral blanc à ne rater sous aucun prétexte ! ! En cas de con�it avec une autre matière, échangez votre créneau.
� Lors de l'oral, les dé�nitions, les théorèmes et leurs hypothèses, le vocabulaire employé doivent être d'une …afficher plus de contenu…

[Centrale 1] ('21) Déterminer le plan tangent au point de coordonnées (1, 1, 1) à la surface d'équation cos
(
π
2 z
)
= x2 − y2.
Exercice 9. [Mines] ('21) Pour tout n ∈ N, a ∈ R∗+ et x ∈ R, on dé�nit un(x, a) = xn n+a .
1. Déterminer le rayon de convergence ρ de
∑
un(x, a).
2. Montrer que pour tout (x, a, a′) ∈] − ρ, ρ[×(R∗+)2 et n > 1,
|un(x, a)− un(x, a′)| 6 |a−a
′|
n2 .
On pose F : (x, a) 7→
+∞∑
n=0 un(x, a).
3. Montrer que F est continue.
4. F est-elle dérivable par rapport à x ?
5. ∂F∂x est-elle continue ?Stanislas
Révisions
Probabilités & Variables aléatoires T.D. III
PSI
2021-2022
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I. Probabilités
Exercice 1. [CCP] ('18) Soit R un entier naturel non nul. Stéphanie répond chaque jour à une question. Elle répond correctement avec …afficher plus de contenu…

Montrer que f est solution de l'équation di�érentielle y′ = y2.
4. En déduire la valeur de f .
Exercice 12. [Mines] ('16, 17, 18) Une involution est une application f qui satisfait f ◦f = Id. On note In le nombre d'involutions de J1, nK. On pose I0 = 1.
1. Calculer I1, I2 et I3.
2. Montrer que, pour tout entier naturel n, In+2 = In+1 +(n+1)In. Que dire du rayon de convergence R de
∑ In n! z n ?
3. Pour tout x ∈]−R,R[, on note S(x) =
+∞∑
n=0
In
n!x
n. Calculer (1+x)S(x).
En déduire une expression simple de S(x) puis une expression de In sous forme d'une somme.
Exercice 13. [Centrale 1] ('21)
1. Déterminer le domaine de dé�nition Df de f : x 7→
∫ +∞
0
tx
1 + t2 dt. 2. Montrer que f : x 7→
∫ +∞
1
tx
1 + t2 dt est développable en série entière sur Df .
3. Déterminer si f est développable en série entière sur Df