Polynômes orthogonaux

fonctions à valeurs complexes cas de t → e αt et de t → e ϕ(t) . 1- Rappel du théorème fondamentale. Fonctions de classe C p . 2 - Tableau des primitives usuelles 3 - Intégration par parties et théorème de changement de variable.. 4 - Produits de polynômes par une exponentielle ou une fonction trigonométrique (classique ou hyperbolique). 5 - Fractions rationnelles : calcul des primitives de fonctions homographiques, de l’inverse et de quotient de trinômes du second degré. 6 - Fonctions trigonométriques

par v. Polynômes d’endomorphismes Soit u ∈ L(E). On définit l’application φu : K[X] → L(E), φu (P ) = P (u) C’est un morphisme de la K-algèbre K[X] dans la K-algèbre L(E). im φu est une sous-algèbre commutative de L(E) appelée algèbre des polynômes de u et notée K[u]. ker φu est un idéal de K[X] appelé idéal annulateur de u et noté Ju Décomposition des noyaux Théorème Soit u ∈ L(E), P1 , · · · , Pp des polynômes de K[X] premiers entre eux deux à deux et P le produit de ces polynômes. On a alors

binaire anneau Z sous- groupes de Z division euclidienne dans N et Z congruence, anneau Z/nZ nombres premiers, corps Z/pZ décomposition d'un entier naturel en produit de facteurs premiers PGCD et PPCM. APPLICATIONS 1- Fonctions polynômes zéros d'une fonction polynôme f méthodes de factorisation de f(x) différentes écritures de f(x) signe de f('x) suivant les valeurs de x. 2- Fonctions rationnelles Zéros d'une fonction rationnelle f Différentes écritures de f(x) Signe de f(x) suivant les valeurs

K-espace vectoriel des fonctions de classe C k (I ) à valeurs dans K, où I est un intervalle de R non réduit à un point, sont des espaces vectoriels qui ne sont pas de dimension finie. • Exemples Exercice 1.1 On considère une suite (Pk )k∈N de polynômes de K [X ] telle que pour tout k dans N on a deg Pk = k. 1) Montrer que pour tout n dans N la famille (Pk )0 2) Montrer que (Pk )k∈N est une base de K [X ]. n k n est une base de Kn [X ]. 1) Soit (l1 , . . . , ln ) dans K tel que (1) n k=1

équation du troisième degré   On considère la fonction ƒ définie sur par : ƒ(x) = x 3 + 3x − 4   1. Démontrer que la fonction ƒ est strictement croissante sur .(1) 2. Tracer la courbe Cƒ représentant la fonction ƒ dans un repère orthogonal. 3. À l'aide du graphique, déterminer les coordonnées du point A d'intersection de Cƒ avec l'axe des abscisses, puis confirmer le résultat à l'aide d'un calcul.   4. En déduire que l'équation ƒ(x) = 0 admet une unique solution sur que l'on

– h sont dans Df et f(a – h) + f(a + h) = 2b 2. POLYNOMES DU SECOND DEGRE Définition-Théorème: Une fonction P définie sur est appelée fonction polynôme lorsqu'il existe un entier naturel n et des nombres réels an, an–1, ……, a1, a0 tels que, pour tout x ∈ I, R, on ait: P(x) = anxn + an–1xn–1 + …… + a1x + a0 Toute fonction polynôme s'écrit de manière unique sous cette forme (appelée forme réduite du polynôme); le nombre n s'appelle degré du polynôme, les réels an, an–1, ……, a1, a0 sont ses coefficients

année Autres structures algébriques 1re année 138 141 Relations 1re année Nombres complexes 1re année Entiers naturels 1re année 128 VI Table des matières 46 47 Exponentielle complexe 1re année 144 48 49 Polynômes 1re année 149 153 Fractions rationnelles 1re année Nombres complexes et géométrie plane 1re année 147 Partie 4 – Algèbre linéaire et multilinéaire 50 51 52 53 © Dunod – La photocopie non autorisée est un délit. Structure d’espace

Fractions rationnelles 1re année Polynômes 1re année Partie 4 – Algèbre linéaire et multilinéaire 52 53 54 55 © Dunod – La photocopie non autorisée est un délit. Structure d’espace vectoriel 1re année et 2e année 166 60 61 Déterminants 1re année 193 Dimension d’un espace vectoriel 1re année et 2e année Réduction des endomorphismes 2e année 197 169 Applications linéaires 1re année et 2e année 62 173 Polynômes annulateurs 200 2e année 63 178

préparation .............................................. 4 B. Lors des épreuves ............................................................ 5 Algèbre ...................................................................................... 6 A. Complexes. Polynômes .................................................... 6 B. Algèbre linéaire ............................................................... 9 C. Algèbre bilinéaire .......................................................... 16 Analyse ............

I. Fonction polynôme de degré 2 Définition : On appelle fonction polynôme de degré 2 toute fonction f définie sur ℝ par une expression de la forme : où les coefficients a, b et c sont des réels donnés avec . Remarque : Une fonction polynôme de degré 2 s'appelle également fonction trinôme du second degré ou par abus de langage "trinôme". Exemples et contre-exemples : - , - , - - sont des fonctions polynômes de degré 2. - est une fonction polynôme de degré 1 (fonction