Parallélogramme

si et seulement si ABDC est un parallélogramme). Propriété Les coordonnées du vecteur AB sont : AB( x B − x A ; y B − y A ) où A ( x A ; y A ) et B( x B ; y B ). Propriété C Règle de Chasles Soit A, B et C trois points du plan. On a : AB + BC = AC. A B Séquence 10 – MA02 3 © Cned - Académie en ligne Propriété Règle du parallélogramme C D Soit A, B et C trois points du plan. On a : AB + AC = AD, où D est le point tel que ABDC soit un parallélogramme. A B Définition Deux vecteurs

b2 =  − −− = −   2   2    2   2       = 2 x 2 + 2x + 1 x 2 − 2x + 1 4 x − = = x. 4 4 4 Comme, P a une ordonnée positive, on a : b ≥ 0 et donc : b = ( ) x. On a donc : P 0 ;  x . OMQP est un parallélogramme (c’est un rectangle !) donc : OM = PQ ce qui se   traduit par :     On a donc :     x = x Q . . Ainsi  yM − 0 = y Q − yP 0 = y Q − x xM − 0 = x Q − xP xQ = x ( ) . Ainsi : Q x  ;  x . yQ = x

interquartile est plus important pour la 2nde B. La 2nde B est donc plus hétérogène que la 2nde A 2 corrigé contrôle commun Exercice 3 ⎯⎯→ ⎯⎯→ ⎯⎯→ ⎯⎯→ ⎯⎯→ 1. AB(1+ 3;-2 + 1) soit AB(4 ; - 1) et DC(0 + 4; - 7 + 6) donc AB = DC. Donc ABCD est un parallélogramme. - 4 + xE - 6 + yE 2. E est le symétrique de D par rapport à C donc C est le milieu de [DE] donc 0 = et - 7 = 2 2 donc xE = 4 et yE = - 8. 3. Le milieu de Donc le point a pour coordonnées -3+4 1 -1-8 9 = et =- . 2 2 2 2 est le milieu de .

5 0;4 0OB    donc  5;4OB  on a OC OA OB  donc   1 5 ;2 4OC    donc  4;6OC  donc  4;6C  3) on a OA OB OC  donc OACB est un parallélogramme On vérifie : on a  1;2OA ① Et  4 5;6 4BC    c a d  1;2BC ② De ① et ② on a donc OA BC donc OACB est un parallélogramme 4) on a 2u OA OB IC   et  1;2OA et  2 10;8OB   4 2;6 3IC    donc  2;3IC  on a 2u OA OB IC   donc  1 10 2;1 8 3u    

Le triclinique, qui est un prisme à bases et faces parallélogramme : Seulement 7% des minéraux font partie du système triclinique et les plus connus sont la turquoise, la rhodonite et l’axinite (par exemple ci-dessous l’axinite et la rhodonite) AXINITE RHODONITE Le monoclinique est lui un prisme avec une base rectangle, deux faces parallélogramme. Ce système concerne la plus grande partie

→ → → 3 → 3 → 3 → 3 → 3 → 3 → GD = GA + AD = CA + AB + AC = AB + ( CA + AC) = AB. 2 2 2 2 2 2 → → 3 → 3 → c) On a alors GD = AB et AM = AB 2 2 → → d’où GD = AM et le quadrilatère AMDG est un parallélogramme. Exercice 3 : 1. → → 2. Dans le repère (A ; AB, AC) a) A(0 ; 0) B(1 ; 0) et C(0 ; 1) -3D. PINEL, Site Mathemitec : http://mathemitec.free.fr/index.php Seconde : Chapitre IV : Exercices corrigés sur Les vecteurs → b)

(2e ) + (2e ) = 2 e + 2 e = 2 – 2 = 0 2) zc = zA + zB. i 3 2e z z    – i /2 a ) zOA /zOB = A = i5/6 = e = - i  A est imaginaire pur  OA  OB  (OA)  (OB) . zB 2e zB       b) zc = zA + zB  OC = OA + OB  OACB est un parallélogramme et comme (OA)  (OB) et OA = OB  OACB est un carré.         7        c) (u, OC ) = (u, OA) + (OA, OC ) + 2k = + + 2k = + 2k  ; k  Z Z. 3 4 12 zc = 2OA = 2 2 i 7 /12 Donc zc = 2 2 e  zc = zA + zB = (1 – 3) + i(1

démos avec petit « g »: 1) a indép. de m, 2) intersection balistique 38 Expérience de Stévin (1548 1620) • Une masse est suspendue à deux fils obliques dont on mesure les tensions avec des dynamomètres démo • La diagonale verticale du parallélogramme construit sur les deux vecteurs forces est indépendante de la direction des fils F1 F2 F2 F1 F2 F1 • Conclusion: il est possible de représenter l’effet global des deux forces au moyen d’une seule force égale à F1+F2 – cette

b2 2ac 2 a c2 b2 2ac 44.4 180 78.5 Triangles quelconques: théorème de Sinus et du Cosinus 10 exercice D’un triangle quelconque on connaît a 5, c les données manquantes du triangle. exercice 8, 77 Calcule Un parallélogramme possède des côtés de 30 cm et 70 cm et un angle de 65˚. Calculer la longueur des diagonales. Triangles quelconques: théorème de Sinus et du Cosinus 11 Résumé Théorème du Sinus Théorème du Cosinus ACC CAC (angle inclus)

Prouver que : OM = i. z−−→ 2 DA −−→ −−→ 4. Donner une mesure en radians de l’angle D A, OM . 1 5. Prouver que OM = D A. 2 6. On appelle J , K et L les milieux respectifs des segments [C D], [D A] et [AB]. On admet que le quadrilatère J K LM est un parallélogramme. Démontrer que c’est un carré. Exercice 5 La Réunion, Septembre 2007 (5 points) Soit les nombres complexes : z1 = 2 + i 6, z2 = 2 + 2i et Z = z1 . z2 1. Écrire Z sous forme algébrique. 2. Donner les modules et arguments de z1 , z2 et Z