corrigé contrôle commun

Exercice 1 :
1.
x
0
0,5 f(x) 32
26,5

1
22

1,5
18.5

2
16

2,5
14.5

3
14

3,5
14.5

4
16

2. f(x) = 32 ⇔ 2x² -12x + 32 = 32 f(x) = 32 ⇔ 2x² -12x = 0 f(x) = 32 ⇔ 2x(x - 6) = 0 f(x) = 32 ⇔ 2x = 0 ou x - 6 = 0 f(x) = 32 ⇔ x = 0 ou x = 6 les antécédents de 32 par f sont 0 et 6.
3. f(1.7) = 17.38 donc le point S(1,7 ; 17,4) n'appartient pas à (C).
5. a) Par lecture graphique, le minimum de f sur [0 ; 4] semble être 14 atteint en 3
b) pour tout réel x, 2(x - 3)² + 14 = 2(x² - 6x + 9) + 14
2(x - 3)² + 14 = 2x² - 12x + 18 + 14 donc c) pour tout réel x, 2(x - 3)² ≥ 0, 2(x - 3)² + 14 ≥ 14. donc pour tout réel x, f(x) ≥ 14 et f(3) = 14 donc le minimum de f sur [0 ; 4] est 14 atteint en 3.
6. a) On trace la droite d'équation y = 16.. Les solutions sur [0 ; 4] de l'inéquation f(x) > 16 sont les abscisses des points de (C) situés strictement au-dessus de la droite soit l'ensemble solution : [0 ; 2[
b) (x - 3)² - 1 = x² - 6x + 9 - 1 donc
= (x - 4 )( x - 2)
D'où l’étude de son signe : valeurs utiles : x - 4 = 0 ⇔ x = 4 et x - 2 = 0 ⇔ x = 2 x -∞
2
4 x-4 0
+
x-2
0
+
+
+
0
0
+

. Donc

= (x - 3 - 1)( x - 3 + 1),

+∞

c) f(x) > 16 ⇔ 2x² -12x + 32 > 16 f(x) > 16 ⇔ 2(x² -6x + 8) > 0 donc d'après le tableau précédent on retrouve l'ensemble solution : [0 ; 2[
Partie II:
Soit la fonction affine g définie sur par: .
1. Le coefficient de g, - 4 est négatif donc g est strictement décroissante sur IR.
2. g est représenté par la droite passant par (0;26) et de coefficient directeur - 4.
3. Les solutions de l'inéquation sont les abscisses des points de (C) situés strictement au-dessus de la droite représentant g. Soit l'ensemble solution ]- ∞ ; 1[ ∪ ]3 ; + ∞ [.
Partie III:
1. s(1) = 1×1 + 3 × 7 donc s(1) = 22.
2. x = AM , M ∈ [AB] et AB = 4 cm donc s est définie sur [0 ; 4]
3. a) PC = 8 - x et CN = 4 - x
b) Donc s(x) = x² + (8 - x)( 4 - x) donc s(x) = x² + 32 - 8x - 4x + x² donc s(x) = f(x).
4. En utilisant les résultats de la partie I:
a) L'aire de la zone colorée