Parallélogramme

+ 2 A⃗C - C⃗B + 3 A⃗B - 2 A⃗C = C⃗B - C⃗B + 3 B⃗A + 3 A⃗B + 2 A⃗C - 2 A⃗C = 0⃗ + 3( B⃗A + A⃗B )+ 0⃗ =3 B⃗B = 0⃗Exercice 5 : (2 points) A⃗D = - 6 C⃗B C⃗B = 1 2 E⃗D A⃗E= 8 3 C⃗D E⃗C = − 5 6 A⃗D Exercice 6 : (3 points) 1. RSTU est un parallélogramme de centre A donc A⃗T = - A⃗R et A⃗U = - A⃗S Donc A⃗R + A⃗S + A⃗T + A⃗U = A⃗R + A⃗S - A⃗R - A⃗S = A⃗R - A⃗R + A⃗S - A⃗S = 0⃗ + 0⃗ = 0⃗ . 2. R⃗M + S⃗M + T⃗M + U⃗M = R⃗A + A⃗M + S⃗A + A⃗M + T⃗A + A⃗M + U⃗A + A⃗M = 4 A⃗M + R⃗A + S⃗A + T⃗A

3x  {54, 57, 60}. Réponse : L’ébéniste doit fabriquer 54 commodes du modèle et 18 du modèle , ou 57 commodes du modèle et 19 du modèle , ou 60 commodes du modèle et 20 du modèle . 30. Aire du grand parallélogramme : A = (15x − 2)(9x + 4) = 135x2 + 42x − 8 Aire du petit parallélogramme : A = (15x − 2)(3x) = 45x2 − 6x Aire du rectangle vertical : A = 3x(9x + 4) = 27x2 + 12x Aire du carré central : A = (3x)2 = 9x2 Aire de la partie ombrée : A = 45x2 − 6x + 27x2 + 12x − 9x2 = 63x2

de m pour que l’aire du triangle TRI soit égale à 1) Donner les dimensions des rectangles MBPQ, lorsqu’ils existent, ayant pour aire 2, 4 et 5 cm2 . Pour tout nombre réel m xT ≤ xR . PARTIE B : utiliser la fonction Histoire de parallélogrammes On considère un rectangle ABCD de dimensions don+ −2 + −1 0 + 1 + 2 nées : AB = 6 cm et BC = 8 cm. Sur le côté [ AB], on place un point M quelconque. deux unités d’aire puis soit maximale et enfin soit mini- On considère

BILE est tel que BI = BA et 3 1 EL = ED ; or ABED est un rectangle donc AB = ED. 3 On en déduit que BI = EL. Le quadrilatère BILE a donc deux côtés [BI] et [LE] parallèles et de même longueur, de plus il n’est pas croisé : c’est donc un parallélogramme. Comme il a un angle droit (gIBE = 90°) c’est donc un rectangle. Par conséquent (IL) // (BE). Le plan (IKL) contient les deux droites sécantes (IK) et (IL). Elles sont parallèles respectivement aux droites sécantes (BC) et (BE) du plan (BCE)

pompe à feu de Newcomen IV) La machine à vapeur de Watt ou l’aboutissement d’une recherche * La machine finale de James Watt * Les différentes améliorations apportées à la machine * Le volant * Le régulateur à boules * Le parallélogramme de Watt * Le condenseur externe V) L’impact sur la société du XVIII° siècle A. Les avancées dans les transports B. La machine à vapeur dans l’industrie C. La machine à vapeur aujourd’hui VI) Conclusion VII) Bibliographie

de -1. 1) a) b) Prouver que les droites (BC) et (RQ) sont sécantes. Démontrer que les coordonnées de leur point d'intersection P sont 1 – a 2a   ; . 1 + a 1 + a  2) M et N sont les points tels que QCBM et ACPN soient des parallélogrammes. a) Calculer les coordonnées des points M et N. b) Démontrer que les points R, M et N sont alignés. Exercice 2 : 1) Question de cours Dans un repère, d et d’ sont les droites d’équations cartésiennes respectives : ax + by + c = 0 avec

: A. B. C. F est le symétrique de E par rapport à B, alors AECF est un parallélogramme. D. 29. EFGH est un parallélogramme. On a : A. B. C. Les vecteurs D. Les vecteurs et et sont égaux. sont colinéaires. Page 5 sur 11 | Lycée Saint-Charles, Athis-Mons Révisions obligatoires – Mathématiques – Seconde à première 2011 30. Quelles que soient les positions des points A, B et C ? A. B. C. 31. EFGH est un parallélogramme. On a : A. B. C. Le point H a pour coordonnées (1 ;1) dans le repère (F

coupent en leur milieu. Ce quadrilatère est donc un parallélogramme. ΂ ΃ xE = xA + xC soit – 2 = – 1 + xC et xC = – 3. 2 2 yE = yA + yC soit – 2 = 2 + yC ; yC = – 6. 2 2 x + x 3 + xD et x = – 7. D soit – 2 = xE = B D 2 2 yE = yB + yD soit – 2 = 4 + yD ; yD = – 8. 2 2 4 5 1. D a pour coordonnées (3 ; 2) ; le milieu de [AB] a pour coordonnées (3 ; 2). 2. a) D est le milieu de [AB]. b) OBCA est donc un parallélogramme. 6 IP² = (5 – 1)2 + (5 – 2)2 = 16 + 9 = 25

sont (1; 2). −2 + 4 x S + xU = = 1 et 2 2 [SU ] sont (1; 2). Les coordonnées des deux milieux sont les mêmes donc il s’agit du même point. Le quadrilatère RSTU a ses diagonales [ RT ] et [SU ] qui se coupent en leur milieu. Donc RSTU est un parallélogramme. U 2− J − + I xR + xT −1 + 3 = = 1 et 2 2 y S + yU 1+3 = = 2. 2 2 Donc les coordonnées du milieu du segment 1) R 2) Ex. 10 p. 191 T + 4 3. Distance entre deux points PROPRIÉTÉ Dans le plan muni d’un repère orthonormé, on note ( x A

tout point M du plan on associe par la translation qui transforme A en B, l’unique point M tel que [AM ] et [BM ] ont le même milieu (voir figure 1). Figure 1 – Une translation Remarque : Pour construire M , il suffit donc de construire le parallélogramme (éventuellement aplati) ABM M . Définition 2 : On dit alors que les points A et B (pris dans cet ordre) et que les points M et M (pris dans cet ordre) représentent le même vecteur u. On note alors : −−→ −−−→ u = AB = M M −−→ −−→ −−→ Remarque :