Première S

2011-2012
Exercices : vecteurs et variations des fonctions associées

Exercice 1 : vecteurs et alignement de points
→ →

ABC est un triangle. Le plan est muni du repère (A; AB , AC ) et on considère les points R(-1;0) et Q(0;a) où a est un nombre réel différent de -1.
1) a)
b)

Prouver que les droites (BC) et (RQ) sont sécantes.
Démontrer que les coordonnées de leur point d'intersection P sont

1 – a 2a 

;
.
1 + a 1 + a 
2) M et N sont les points tels que QCBM et ACPN soient des parallélogrammes. a) Calculer les coordonnées des points M et N.
b) Démontrer que les points R, M et N sont alignés.
Exercice 2 :
1) Question de cours
Dans un repère, d et d’ sont les droites d’équations cartésiennes respectives : ax + by + c = 0 avec (a ;b) ≠ (0 ;0) et a’x + b’y + c’ = 0 avec (a’ ;b’) ≠ (0 ;0)
Démontrer que d et d’ sont sécantes si, et seulement si, ab’ – ba’ ≠ 0.
2) Application
Dans un repère, on donne les points A(4 ;2), B(-2 ;4) et C(7 ;9)
a) Démontrer que les droites d et d’ d’équations respectives : x – y + 2 = 0 et -1,5x + 7,5y – 33 = 0 sont deux médianes du triangle
ABC.
b) Vérifier que d et d’ sont sécantes.
c) Calculer les coordonnées du centre de gravité du triangle ABC.

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Exercices : vecteurs et variations des fonctions associées

Exercice 3 : variations des fonctions associées : distance d'un point à une droite Dans un repère

orthonormé, on considère les points A(0;1) et M(x;y). M est

un point de la droite d d'équation y = x – 4.
L'objectif est d'étudier les variations de la distance Am lorsque M parcourt la droite d, et en particulier de déterminer la distance AM minimale.
1) Exprimer la distance AM en fonction de x.
2) L'objectif est donc maintenant d'étudier les variations de la fonction : f : x → 2x² - 10x + 25
a) Justifier que f(x) existe quel que soit le nombre x.
b) Etablir le tableau de variation de la fonction u définie sur Y par : u : x → 2x² -