Normal distribution

tous les autres facteurs explicatifs non pris en compte dans le modèle. L’analyse de régression repose sur un certain nombre de postulats : La variable explicative X est mesurée sans erreur. Les erreurs aléatoires ε sont distribuées selon une loi normale de moyenne nulle et de variance constante inconnue. Les erreurs aléatoires ε sont non corrélées avec la variable explicative. Les erreurs aléatoires ε sont non corrélées entre elles. - 1.2.2. Ajustement du modèle. Le diagramme de dispersion

(ou caract´ristiques num´riques). Dans cette optique, aucune hypoth`se de e e e e type probabiliste n’est faite sur les donn´es consid´r´es (par exemple, il n’est pas n´cessaire e e e e de supposer que les donn´es sont les observations d’une loi normale). Les trois directions e signal´es ci-dessus (pr´sentation, repr´sentations graphiques et calcul de r´sum´s num´riques) e e e e e e serviront de guide dans la suite de ce cours. On notera que les termes de statistique descriptive, statistique exploratoire

AEROSPATIALE SLP STATISTIQUES AFNOR ECOLE SUPERIEURE DE METROLOGIE FRANCE TELECOM PREVOYANCE SYSTEMES LNE INAPG DAEI/METT CNEVA/CIQUAL FRANCE TELECOM SGS QUALITEST LABORATOIRE CENTRAL DES PONTS ET CHAUSSEES (LCPC) RHONE POULENC CHIMIE UTAC TOTAL RAFFINAGE DISTRIBUTION AFNOR CNAM PMS LOGICIEL ALLIEDSIGNAL SYSTEMS DE FREINAGE SA CNEVA SCHNEIDER ELECTRIC SA SQIFE DRIRE Membres du groupe de travail «Cartes de contrôle» Animateur : M DAUDIN M MME M M M M M MME MME M M M M M M M M BALLAUD BOUVENOT BRUNSCHWIG CAILLOUX

MATIÈRES 10.3 Variables aléatoires et lois de probabilité . 10.3.1 Variables aléatoires discrètes . . . . 10.3.2 Loi binomiale . . . . . . . . . . . . 10.3.3 Loi de Poisson . . . . . . . . . . . . 10.3.4 Variables aléatoires continues . . . 10.3.5 Loi normale (loi de Laplace-Gauss) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. B.5 Dérivation matricielle . . . . . . . . . . . . C Rappels de probabilité C.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . C.2 Vecteurs aléatoires gaussiens . . . . . . . . C.3 Tables des lois usuelles . . . . . . . . . . . C.3.1 Loi Normale X ∼ N (0, 1) . . . . . C.3.2 Loi de Student X ∼ Tν . . . . . . . C.3.3 Loi du Khi-deux à ν ddl X ∼ χ2 . ν ν1 C.3.4 Loi de Fisher à ν1 , ν2 ddl X ∼ Fν2 93 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Projet de Monte Carlo 1 Question1 : Soit Wt un mouvement brownien, alors : * Le processus Wt est gaussien * EWt=0 * EWtWs=min⁡(t,s) * Montrons que Wt est suit une N0,t En effet Wt est une variable aléatoire gaussienne et EWt=0 De plus on sait que EWtWs=min⁡(t,s) donc EWt2=t On en déduit que Wt suit une N0,t donc W0 suit une N0,0 donc W0=0 p.s * Montrons que E(Wt+r-Wt)Ws=EWt+r-WtEWs pour r > 0 et pour tout s ≤ t Soit r > 0 et s ≤ t On a E(Wt+r-Wt)Ws=EWt+rWs-EWtWs=s-s=0

Convenons d’appeler nombre normal tout r´el de [0, 1] tel que la fr´quence e e de chacun des 10 chiffres d´cimaux 0, 1, . . . 9 dans le d´veloppement d´cimal e e e illimit´ de ce nombre converge vers 1/10. Nous avons ainsi obtenu un r´sultat de e e th´orie des nombres qui s’´nonce ainsi : l’ensemble de tous les nombres normaux e e Ch. Suquet, Probabilit´s e 131 Chapitre 6. Loi des grands nombres de [0, 1] a pour longueur 1 (on dit aussi presque tout nombre de [0, 1] est normal). Ce r´sultat est dˆ

est donn´ par : e ] Φ−1 ( 1+α ) r Φ−1 ( 1+α ) r √2 , + √2 [. − n n 2 n 2 n Pour un exemple, cf. le troisi`me exercice du devoir surveill´. e e 2.2 Estimation de l’esp´rance d’une variable gaussienne. e On suppose que la variable X suit une loi normale N (µ, σ), µ et σ ´tant inconnus, e et on cherche ` d´terminer un intervalle de confiance pour µ au niveau 1 − α. Soit a e T une variable al´atoire suivant une loi de Student ` ν = n − 1 degr´s de libert´ ; e a e e au moyen de la table de la loi de

Cours : Rappeler le th´or`me Central Limit avec ses hypoth`ses dans le cas g´n´ral. e e e e e √ Wn − λ (b) En d´duire que n √ e converge en loi vers une loi normale centr´e r´duite e e λ √ Wn − λ (c) On pose An = n √ . En utilisant la d´composition suivante e Wn ￿ √ Wn − λ λ An = n √ , Wn λ montrer que An converge en loi vers une loi normale centr´e r´duite. e e (d) En utilisant la statistique An , d´duire un intervalle de confiance asymptotique pour λ ` e a 95% 6. Les observations x1 , . . . , xn

de dessication , il a une présence d’une petite quantité .La croûte continentale s’est enfoncée progressivement à cause de la pression =>Subsidence. Arrêt 5 : La carrière de Barrachin, la sédimentation au Trias moyen On observe une faille normale qui recoupe des strates sédimentaires de calcaire et de dolomie. Or d’après le principe de recoupement qui dit qu’une structure qui en recoupe une autre est plus récente on en déduit que la faille s’est formée après le dépôts de sédiments.On en déduit