Normal distribution

quelconque . . . e 4.2 Simulation de variables al´atoires ` densit´ . . . . . . . . . e a e 4.2.1 Loi uniforme sur [a, b] avec a < b ∈ R . . . . . . . . 4.2.2 M´thode d’inversion de la fonction de r´partition . e e 4.2.3 M´thode polaire pour la loi normale centr´e r´duite e e e 4.2.4 M´thode du rejet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 4.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 R´sum´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e 5 Convergence et th´or`mes

quelconque . . . e 4.2 Simulation de variables al´atoires ` densit´ . . . . . . . . . e a e 4.2.1 Loi uniforme sur [a, b] avec a < b ∈ R . . . . . . . . 4.2.2 M´thode d’inversion de la fonction de r´partition . e e 4.2.3 M´thode polaire pour la loi normale centr´e r´duite e e e 4.2.4 M´thode du rejet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 4.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 R´sum´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e 5 Convergence et th´or`mes

(et suivant une loi normale) des fréquences empiriques d'apparition du Pile ... 2.2 Comportement des moyennes empiriques calculées sur les échantillons Théorème 1 Soit une population dont une caractéristique X suit une loi de moyenne m et d'écart-type σ. Soit Mn la variable aléatoire qui, à un échantillon de taille n prélevé dans cette population, associe la moyenne empirique de cette caractéristique dans cet échantillon. σ Alors, si n est assez grand, Mn suit une loi normale N m; √ . n Ce

x)2 i Comme toute variable aléatoire centrée réduite suit une loi normale de paramètres N (0, 1), on en déduit que β1 − β1 β − β2 et 2 σβ σβ 1 2 N (0, 1) 2 Les estimateurs théoriques des variances empiriques des estimateurs des MCO inconnus, on les remplace par leur estimateur empirique σ 2 , σ 2 β β σ2 , σ2 β1 β2 étant n − 2 degrés de liberté2 . Il en résulte que 1 2 dont leur distribution est un χ2 β1 − β1 β − β2 et 2 σβ σβ 1 2 tn−2 suivent une loi

des lois de probabilités dont les supports ne sont ni des intervalles ni des points de IR. Nous rappelons les deux lois de probabilité très courantes que nous utiliserons le plus par la suite. 4.1 Loi gaussienne N (µ, σ2) La loi gaussienne ou normale est la loi de probabilité continue sur IR dénie par la densité : f (x) = √ (x − µ)2 1 exp − 2σ 2 2πσ où µ ∈ IR et σ > 0. Tous les moments de la loi sont nis +∞ xp f (x)dx < +∞, −∞ pour tout p ∈ IN. En particulier, l'espérance vaut p

a(t) peut être lié à des perturbations aléatoires de l'environnement. On peut alors écrire a(t) = r(t) + "bruit", où nous supposons que r(t) est déterministe et où le comportement du terme de bruit n'est pas connu précisément, seulement sa distribution de probabilité. diérentielle suivante Exemple. La charge Q(t) à l'instant t en un point xé d'un circuit élétrique satisfait l'équation LQ”(t) + RQ (t) + 1 Q(t) = F (t), Q(0) = Q0 , Q (0) = I0 C où L est l'inductance, C la capacité, R la

64 3,32 3,36 3,40 3,44 3,48 3,52 3,56 3,60 3,64 3,68 3 2 5 12 39 24 10 3 1 1 Effectif 50 40 30 20 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Classes page 4 sur 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Graphique L’allure du graphique suit une distribution normale (loi statistique de Laplace Gauss) 39 24 12 5 10 3 1 1 3 2 Lycée P. Duez Cambrai Cours N°11 : version professeur Le suivi de la qualité Tpco11.doc Révisé le 03 mai 05 par M. RICHARD La carte de contrôle Composition

longueur sont corrélées. Elles sont dans cet exemple probablement faiblement corrélées. Dans la plupart des TP, les mesures sont indépendantes Si ces deux conditions sont vérifiées, alors, on peut considérer que la distribution des mesures obéit à la célèbre courbe de Gauss (en cloche). Cette méthode d’évaluation de l’incertitude a été développée de façon très détaillée dans un le document du cndp : La pluridisciplinarité dans les enseignements scientifiques - Tome

. . . . B.5 Dérivation matricielle . . . . . . . . . . . . C Rappels de probabilité C.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . C.2 Vecteurs aléatoires gaussiens . . . . . . . . C.3 Tables des lois usuelles . . . . . . . . . . . C.3.1 Loi Normale X ∼ N (0, 1) . . . . . C.3.2 Loi de Student X ∼ Tν . . . . . . . C.3.3 Loi du Khi-deux à ν ddl X ∼ χ2ν . C.3.4 Loi de Fisher à ν1 , ν2 ddl X ∼ Fνν21 93 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

P (Bt ≥ a) = = = = = P (Ta P (Ta P (Ta I(s P (Ta 2 ∞ t, Bt ≥ a) (par continuit´ du brownien) e t, Bt − BTa + BTa ≥ a) t, Wt−Ta ≥ 0) (car BTa = a) t)P (Wt−s t) 0)dPT a (s) (car P (x, y) = P (x|y)P (y)) Ainsi, en utilisant que Bt est une loi normale de N (0, t), on a : 2 P (Ta t) = ( tΠ )1/2 a e 2t dx t Par le changement de variable x = a( s )1/2 , on trouve : x2 P (Ta t) = a 0 t (2Πs3 )−1/2 e−a 2 /2s ds 2 On en conclut que la densité de Ta est f (s) = a(2Πs3 )−1/2