Normal distribution

du chapitre. . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Rappels de statistique math´matique e 3.1 Matrice des covariances d’un vecteur al´atoire e 3.2 Lois de probabilit´s d’un vecteur al´atoire . . e e 3.2.1 Loi normale . . . . . . . . . . . . . . . Loi normale bivari´e . . . . . . . . . . e Loi normale conditionnelle . . . . . . . 3.3 Tests d’hypoth`ses . . . . . . . . . . . . . . . e Situation pratique courante. . . 3.4 Rappels sur la r´gression lin´aire . . . . . . . e e 3.5 Exercices . . . . . . . .

très importante : la famille des lois exponentielles. 4.2 Cas du modèle exponentiel On rappelle tout d’abord la définition du modèle exponentielle. Définition 10 On appelle famille exponentielle à s-paramètres, toute famille de loi de distribution {Pθ } dont la densité a la forme suivante : s f (x|θ) = exp i=1 ηi (θ)Ti (x) − B(θ) h(x) (2) où ηi (.) et B(.) sont des fonctions du paramètre θ et Ti (.) sont des statistiques. Exemples : • Loi exponentielle : 1 −x/θ e 1[0

de la demande par rapport aux prix ; ­ connaissance des coûts. • Le budget des ventes peut prendre différentes formes : il peut être construit, par exemple, par produit, par région ou par représentant. C – Le budget des charges de distribution Il regroupe l'ensemble des charges induites par la vente des produits : ­ Charges variables : transport sur ventes, emballages ; ­ Charges semi-variables : rémunération des commerciaux, publicité ; ­ Charges fixes : coût des

. 3. Variance . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Covariance et corrélation . . . . . . . . 5. Fonction de répartition conjointe . . . 6. Formule de Bayes . . . . . . . . . . . . 7. Règle de calcul des espérances . . . . . 8. Loi Gaussienne ou normale . . . . . . 9. Estimation . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1. Principes, méthode de moments 9.2. Moindres carrés ordinaires . . 9.3. Maximum de vraisemblance . . 2 7 7 7 8 9 9 10 10 11 11 11 13 14 17 17 20 22 25 27 28 31 35 35 37 37 43 . .

indépendante de i et de Xi  La variance des résidus est constante: V ( ei ) = E ( ei ²) = δe² quantité finie H4 H5 Hypothèse d’indépendance des erreurs:  Cov ( ei , ej) = 0 Hypothèse de normalité  Les erreurs sont distribuées selon une loi normale de moyenne nulle et d’écart-type constant  E ~> N ( 0 ; σ ) H6 Hypothèse qui concerne la variable exogène  Lorsque n tend vers l’infini, la suite des Xi est telle que: ∑������������ ������ = ������ X0 quantité finie ∑(������������

les cas de plusieurs mesures indépendantes, l’incertitude se calcule à l’aide de l’écart-type σ n -1 = ∑ (g i −g i n -1 ) 2 d’ordre n–1 (appelé encore écart type de l’échantillon). On prend alors 1 ∑ gi . n i Si la distribution des mesures suit une loi gaussienne, alors les observations montrent que σn–1 est un bon estimateur de l’incertitude pour un très grand nombre de mesures, mais on pratique très rarement 30 000 mesures !!! comme valeur de g, la moyenne des mesures

titres qui les composent. Les prix sont des variables très aléatoires, ils changent suivant le produit. Ces variables suivent la loi de Gauss, caractérisée par deux paramètres. Cette loi aussi nommée « loi normale » est très célèbre et très souvent utilisée car elle résume plusieurs distribution statistiques observées. La représentation graphique de sa fonction de densité, continue et symétrique, présente une forme simple : « la courbe gaussienne » dite « en cloche ». Son utilité est d’autant plus

0≤k≤n (B) Sachant que S2 =1, la probabilité que X1 =1 est (C) On a Var(Xk )= p2 (D) On a Var(Sn ) =nVar(X1) (E) On a Pour n grand, le théorème de la limite centrale permet d'approcher la loi de Sn par une loi normale N(m,σ). On rappelle que si la variable aléatoire Y suit la loi normale centrée-réduite N(0,1) la probabilité que -1,96<Y<1,96 est de 95%, la probabilité que Y <1 est de 84% Les valeurs de ces seuils sont arrondies à 10-2 près. On estime la proportion inconnue p par la variable aléatoire

CHAPITRE 12. Variables al´atoires ` deux dimensions ; esp´rance conditionnelle. Lois normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 e D´finitions et premi`res propri´t´s. Loi de probabilit´ absolument e e ee e continue, densit´ de probabilit´. Loi de probabilit´ conditionnelle, e e e esp´rance math´matique conditionnelle, r´gression. R`gles de cale e e e cul concernant les esp´rances conditionnelles. La loi normale a e ` deux dimensions. Compl´ments et exercices. e e e CHAPITRE 13. Fonction g´n´ratrice

du granite tandis que la croute océanique est surtout formée de Basalte dû aux explosions volcaniques D-Les types de failles -Une faille normale accompagne une extension ; le compartiment au-dessus de la faille ("toit") descend par rapport au compartiment situé en dessous de la faille ("mur"). La formation ainsi obtenue entre les failles normales à pendage (direction et inclinaison) opposé est appelée graben. Le horst est lié au graben (fosse). Bien que situé en contexte d'extension il a l'apparence