Normal distribution

longueur est comprise entreL-ΔL et L+ΔL (2ΔL est l'intervalle de tolérance). Le processus de production, lui, produit des pièces dont la longueur varie, la longueur moyenne est L, et avec un écart type σ (on suppose que cette longueur suit une loi normale). En général, le processus est réglé afin que l'on ait σ = ΔL/3 ; on écrit en général plutôt ΔL = 3×σ, mais c'est bien ΔL qui est une contrainte (la pièce est utilisable ou non) et σ qui est ajusté (les machines sont plus ou moins bien réglées)

= C 0 0 ,025 0 × 0 ,975 12 + C 1 0 ,025 1 × 0 ,975 11 = 0,975 12 + 12 x 0,025 x 0,975 11 12 12 P(E) ≈ 0,737998 +0,227076 ≈ 0,97 (ou 0,96) P(E) ≈ 0,97 C – Loi normale X1 variable aléatoire, qui à toute semaine prise au hasard dans une année, associe la demande en kg d’engrais de type C1. X1 suit N (160 ; 32) X − 160 , T1 suit la loi normale centrée réduite N(0 ; 1) X1 = 32T1 + 160 On pose T1 = 32 P(X1 < 200) = P(32T1 + 160 < 200) = P(32T1 < 40) = P(T1 < 1,25) = Π(1,25) ≈ 0,8944 P(X1 < 200) ≈ 0,8944

redondance des données et de faciliter leur mise à jour. a) La première forme normale Une relation est en première forme normale si tous ses attributs sont élémentaires (ne contiennent qu'une seule information) et sont en dépendance fonctionnelle de la clé primaire (les attributs dépendent de la clé primaire). Exemple : ■FOURNISSEUR (Numfr, Nomfr, AdCPfr, Villefr, Telfr) : Cette relation n'est pas en première forme normale car l'attribut AdCPfr n'est pas élémentaire. Il contient deux informations

Responsable de la matière : Adil ELMARHOUM Traiter les trois exercices suivants : (Documents non autorisés) Exercice 1 On admet que la variable aléatoire X qui prend comme valeurs les résultats de la pesée d'un même objet donné suit une loi normale de moyenne et d'écart type inconnus. On a relevé dans le tableau suivant les résultats de 10 pesées d'un même objet : masse en grammes 72,20 72,24 72,26 72,30 72,36 72,39 72,42 72,48 72,50 72,54 1) Calculer la moyenne et l'écart type de cet échantillon

E(ԐtԐt’) = 0 pour tout t ≠ de t’ * Homoscédasticité des erreurs : V(Ԑt) = E(Ԑt2) = σԐ2 pour tout t Bruit blanc : processus de moyenne nulle, de variance constante et non autocorrélé ≠ l’hétéroscédasticité : V(Ԑt)≠constante. * Ԑt suit une loi normale d’espérance nulle et de variance constante : Ԑt ~N (0, σԐ2) 2. Estimation des paramètres (MCO) Principe  * Objectif : à partir des observations, quantifier la relation entre X et Y en estimant a et b (paramètres inconnus) * Un nuage

de Poisson 1. La variable aléatoire X suit une loi binomiale car nous avons n tirages indépendants (prélèvements au hasard et avec remise) et il y a deux issues possibles (expérience de Bernoulli) : soit la fiche indique une pression intraoculaire normale (succès p =0.10), soit ce n’est pas le cas (échec q = 0.90). Les paramètres sont B (n , 0.10). 2. On a la loi binomiale de paramètres B(10 , 0.10). On va calculer P(X=0) : 0 P(X=0) = C10 (0.10) 0 (0.90)10 = 0.35 3.a) On prend maintenant n=100

1. Justification de la m´ethode des moindres carr´es Th´eor`eme 1.1. Lorsque les erreurs de mesure suivent une loi normale, pour qu’un ensemble de valeurs observ´ees (y1, y2, . . . , yn) d’une fonction `a d´eterminer y = '(x) soit le plus probable, il faut choisir cette fonction de telle sorte que la somme des carr´es des ´ecarts des valeurs observ´ees par rapport `a '(x) soit minimale, autrement dit que sa diff´erentielle soit nulle : d Xn i=1 [yi − '(xi)]2 = 0 D´emonstration. Soit y

EXERCICE CORRIGE Une laiterie produit des camemberts commercialisés sous la marque « Le moine gourmand ». La masse X, exprimée en g, d’un camembert tiré au hasard dans la production, est distribuée selon une loi normale. On tire un échantillon simple de 17 camemberts que l’on pèse et dont le tableau suivant fournit les masses : 250 254 254 253 256 250 257 251 253 255 250 255 252 261 252 251 255 1a) En utilisant une calculatrice donner la moyenne et la variance de cet échantillon. b) Donner une

TP 6 : Océanisation et mise en place des marges passives. Objectif technique : somme vectorielle Objectif méthodologique : cartes bathymétrique, sismotectonique, géologique Objectif cognitif : faille normale, rift Rappels : Schéma 1. amincissement de la croûte océanique lié à l’extension. 2. remontée des isothermes lié à la remontée de l’asthénosphère 3. production de magma basaltique. Pourquoi la dorsale est un lieu de production de magma basaltique ? L’axe

21 – La première forme normale Une relation est en première forme normale si tous ses attributs sont élémentaires (ne contiennent qu’une seule information) et sont en dépendance fonctionnelle de la clé primaire (les attributs dépendent de la clé primaire). Ex : Salarié (MatSal, NomPrenSal, TelPortSal, CateSal) Clé primaire : MatSal Clé étrangère : CateSal en référence à CateSal de Catégorie Cette relation n’est pas en première forme normale car l’attribut NomPrenSal