Matrice orthogonale

métrique ? 2. Montrer que q est une forme quadratique. La forme q est-elle dé�nie ? Si ce n'est pas le cas, exhiber un vecteur isotrope non nul. 3. Calculer la matrice de q dans la base Bn = (1, X, . . . ,Xn). 4. Pour n = 2, déterminer la signature de q. La forme q est-elle positive ? négative ? 5. Déterminer une base de R2[X] qui soit q-orthogonale. Solution - 1. Pour tous P1, P2, Q ∈ Rn[X] et tout a ∈ R, on a B(P1 + aP2, Q) = ∫ 1 0 t(P1(t) + aP2(t))Q′(t)dt = ∫ 1 0 tP1(t)Q′(t)dt + a ∫ 1 0 tP2(t)Q′(t)dt

. . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 7 9 9 11 12 16 18 21 21 25 26 26 28 33 40 44 44 51 54 57 64 68 68 68 71 73 74 76 Les calculs de produits matrice-vecteur et matrice-matrice dans un ordinateur . . III.1 III.2 Exploitation des structures de données . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . À propos du coût de calcul du produit matrice-matrice . . . . . . . . . . IV La résolution de systèmes linéaires : les méthodes directes . . . . . . . . . . . . . IV.1 IV.2 IV.3 IV.4 Motivation .

nulle et u e |1 − j 2 | = |j 3 − j 2 | = |j 2 ||j − 1| = |j − 1| et |j − j 2 | = |j||1 − j| = |1 − j| = |j − 1|. On a donc bien √ ρ = 27. 4. Une minoration du r´ el ρ : e q−1 a. Le terme g´ n´ ral apq de la matrice V (Ω) est : apq = (ωp ) e e = e2i(p−1)(q−1)π/n. Le terme g´ n´ ral bmk de la matrice V (Ω)V (Ω) est donc : e e n n n n bmk = s=1 ams ask = s=1 e−2i(m−1)(s−1)π/n.e2i(s−1)(k−1)π/n = s=1 e2i(s−1)(k−1−m+1)π/n = s=1 e2i(s−1)(k−m)π/n. Il s’agit de la somme des termes d’une

. . . . . . . . . . . . . e 2.3 L’interpr´tation matricielle de la m´thode de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e 2.3.1 Quelques notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Action d’une matrice de la forme M = I + z(ek )⊤ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3 Th´or`me 1 : La d´composition A = LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e e 2.3.4 Quelques autres r´sultats th´oriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

pv (u) = < u, v > v . ||v||2 (1.1) 1.2.4 Vecteurs orthogonaux < u, v >= 0. D´finition 1.11 Deux vecteurs non-nuls u et v de Rn sont orthogonaux si e On note alors u⊥v Th´or`me 1.1 (de Pythagore) Si u et v sont orthogonaux, alors e e ||u + v||2 = ||u||2 + ||v||2 . 4 1.2.5 Orthogonal d’un sous-espace vectoriel D´finition 1.12 Un vecteur u est orthogonal ` un sous-espace vectoriel V si et seulement si il est orthogonal e a ` tous les vecteurs de V, on note alors a u⊥V. D´finition

Rn+1 , (xj )j=1,... ,n+1 les composantes de x(i) dans la base canonique de Rn+1 . Pour tout k = 1, . . . , n + 1 on note Vk le produit par (−1)k+1 du (i) déterminant de la matrice (xj ) où i = 1, . . . , n et j = 1, . . . , k − 1, k + 1, . . . , n + 1. On note V le vecteur de Rn+1 de composantes Vk . 1.a) Montrer que V est orthogonal à tous les x(i) . 1.b) Comparer les conditions suivantes : i) V = 0 ii) la famille (x(i) )i=1,... ,n est liée. 1.c) Exprimer en fonction de V base canonique de Rn+1 . le

initiales. Chacune de ces variables initiales est liée à l’ensemble des variables artificielles retenus. Nature des données : variables quantitatives 5- Qu’est ce que la matrice de corrélation ? C’est une matrice R dont les éléments sont les corrélations des variables prises 2 à 2 R= (rij=cor (Xi, Xj)) 6- Interprétation de la matrice de corrélation Plus les variables présentent de fortes corrélation plus elles peuvent être regroupés en dimensions homogènes. Sinon elles sont hétérogènes. 7- Quel est

matriciel 1 Définition Une matrice n × m est un tableau de nombres à n lignes et m colonnes : Exemple avec n = 2, m = 3 : | | n et m sont les dimensions de la matrice. Une matrice est symbolisée par une lettre en caractères gras, par exemple A. On note Aij l'élément situé à l'intersection de la ligne i et de la colonne j (la ligne est toujours nommée en premier). On note [Aij] la matrice d'élément général Aij. On a donc : A = [Aij] Si m = 1, la matrice est appelée vecteur (plus précisément

Chap. V – Analyses Factorielles 1 Chapitre V ANALYSES FACTORIELLES _____ Définition et propriétés des analyses factorielles : On est en présence d'un tableau de données réelles sous forme de matrice X (n,p) de n lignes et p colonnes. Les n lignes de X représentent un nuage de n points dans un Espace Vectoriel Rp de dimension p. (respectivement, les p colonnes représentent p points dans l'E.V. Rn ) Une représentation graphique de ces points dans cet espace est bien entendu impossible

dm est une application linéaire de  3 dans  3 , on va donc utiliser sa matrice représentative dans 3 3 notée I A S . p x    Soit u= q et AP= y . r z   AP P S    u AP dm P S x y z qz-ry rx-pz dm py-qx p y 2 +z 2 -qxy-rxz -pxy+q x 2 +y 2 -ryz dm P S -pxz-qyz+r x 2 +y 2 y 2 +z 2 dm - xydm - xzdm - xydm x 2 +y 2 dm - yzdm - xzdm - yzdm x 2 +y 2 dm    A, x, y,z On appelle matrice (ou opérateur d’inertie) du solide S au point A exprimée dans la base y