Polynôme de Legendre

3 Principe Démonstration Majoration d’erreur Programmation Matlab II] Méthode de Simpson : ………..………………………………………page 5 Principe Démonstration Majoration d’erreur Programmation Matlab III] Méthode de Gauss-Legendre : ………………………………………page 7 Principe Démonstration Majoration d’erreur Programmation Matlab IV] Méthode des Rectangles : …………………………………………page 11 Principe Démonstration Majoration d’erreur Programmation Matlab

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Approximation Polynomiale 2.1 Formule(s) de Taylor . . . . . . . . 2.2 Interpolation de Lagrange . . . . . . 2.3 Forme de Newton . . . . . . . . . . 2.4 Polynômes orthogonaux . . . . . . 2.4.1 Polynômes de Legendre . . 2.4.2 Polynômes de Tchebychev . 2.5 Approximation par Moindres Carrés 2.6 Meilleure Approximation . . . . . . 2.7 Oscillations de Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve. Les polynômes de Legendre, fonctions de Legendre et harmoniques sphériques étudiés dans ce problème ont des applications à la détermination des équilibres de température et des distributions de charges électriques, ainsi qu’à la mécanique quantique. Les fonctions considérées sont à valeurs dans R. On identifie une fonction polynomiale avec le polynôme associé. Première partie Pour tout n ∈ N, on considère la fonction polynomiale

sont l’outil principal d’approximation locale des fonctions. L’objectif de ce chapitre est de vous apprendre à les calculer. Vous aurez essentiellement besoin de savoir manipuler des polynômes, ainsi que d’avoir assimilé les limites, la comparaison des fonctions et la dérivation. Table des matières 1 Cours 1.1 Polynômes de Taylor . . . . . . . . . . . . 1.2 Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . 1.3 Opérations sur les développements limités 1.4 Développement des fonctions usuelles . . . 1.5

démontré la constructibilité du 17-gone régulier, Gauss démontra l’hypothèse d’Euler, un résultat qu’aucun grand mathématicien n’avait réussi à montrer. Ce résultat est aujourd’hui plus connu sous le nom de loi de réciprocité quadratique de Gauss-Legendre. Il fallait initialement déterminer les résidus quadratiques d’un nombre premier impair p. Un résidu quadratique est le reste modulo p du carré d’un nombre entier. Ces derniers sont toujours au nombre de mais, en utilisant le petit théorème de Fermat

Approximation hilbertienne et polynômes orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . 100 II.1 II.2 II.3 II.4 II.5 II.6 II.7 L’approximation hilbertienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Le procédé d’orthogonalisation de Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . 103 Polynômes orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Les polynômes de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 Les polynômes de Tchebychev . . . . . . . . .

. 3 1.2 Rappels généraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.1 Pour les racines d'un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.2 Division euclidienne 5 1.2.3 Théorème de Weierstrass 1.3 Polynômes de Lagrange 1.4 Polynômes de Newton 1.5 * Polynômes d'Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Polynôme en une indéterminée || http://mpsiddl.free.fr || david Delaunay L’anneau des polynômes Exercice 1 Résoudre les équations suivantes : a) Q 2 = XP 2 d’inconnues P ,Q ∈ K [X ] b) P P = P d’inconnue P ∈ K [X ] . Exercice 2 On définit une suite de polynôme (Pn ) par P0 = 2, P1 = X et ∀n ∈ ℕ, Pn + 2 = XPn +1 − Pn . a) Calculer P2 et P3 . Déterminer degré et coefficient dominant de Pn . b) Montrer que, pour tout n ∈ ℕ et pour tout z ∈ ℂ∗ on a Pn (z + 1 z ) = z n + 1 z n . c) En déduire une

n! et par (Ln )n∈N la suite des polynômes de Legendre définie par : (n) ∀n ∈ N, Ln = Un . Lemme 23.3 Pour tout entier naturel n, Ln est une fonction polynomiale à coefficients entiers relatifs de degré n. Lemme 23.4 Si (Ik )k∈N est la suite de réels définie par : 1 ∀k ∈ N, Ik = sin (πt) tk dt, 0 alors :   I0 = 2 , I1 = 1 ,  π π 1 k (k − 1)   Ik = − Ik−2 (k ≥ 2) π π2 et pour tout entier naturel non nul k, il existe un polynôme Qk à coefficients entiers relatif de

description du principe de causalité en physique et à la modélisation des filtres linéaires : relations de Kramers- Kronig, filtres à phase minimale, relations de Bayard-Bode, théorème de Paley-Wiener. Les fonctions de Bessel, chapitre 7, et les polynômes orthogonaux, chapitre 8, sont étudiés en vue de leur application à la résolution d’équations différentielles et d’équations aux dérivées partielles (chapitre 9). Cet ouvrage ne prétend pas à l’exhaustivité et certains domaines des mathématiques