Matrice orthogonale

norme associ´ e au produit sca1aire. e E → R, x → x = L(E) est l’ alg` bre des endomorphismes de E, (O(E), ◦) est le groupe orthogonal de E, tA est la transpos´ e e e de la matrice A, F ⊥ est l’ orthogonal du sous espace vectoriel F de E, Imf et ker f d´ signent l’image et le noyau d’ un endomorphisme f de E. Id est l’ identit´ sur E. Matβ β e e d´ signe la matrice de f dans la base β de E. Dans la partie I on d´ finit les endomorphismes sym´ triques e e e positifs et on cherche leur racine

3 Matrices 3.1 Espaces de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 D´finitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 3.1.2 Op´rations lin´aires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e 3.1.3 Transposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Produit de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 D´finition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 3.2.2 Multiplication de matrices et syst`mes

que c’est une famille libre (ou une famille génératrice) de n vecteurs dans un espace de dimension n. On peut aussi écrire la matrice constituée des coordonnées des vecteurs de la base mises en colonnes et montrer qu’elle est inversible. 9 3. Dimension d’un espace vectoriel La dimension d’un espace vectoriel E engendré par une famille de vecteurs est le rang de la matrice M représentant cette famille. Il faut donc déterminer une famille génératrice de l’espace. En effectuant un suite de transformations

Affirmation 1 : ∆ est orthogonale à toute droite du plan P. ∆ a pour vecteur directeur δ(1 ; 3 ; −2) −−→ La droite (AB) a pour vecteur directeur AB (4 ; −2 ; −1). −−→ La droite (AC) a pour vecteur directeur AC (−1 ; −1 ; −2). −−→ −−→ Or δ · AB = 4 − 6 + 2 = 0 et δ · AC = −1 − 3 + 4 = 0. Donc ∆ est orthogonale à deux droites (AB) et (AC) sécantes du plan P : elle est orthogonale à ce plan. VRAIE. 2. Affirmation 2 : les droites ∆ et (AB) sont coplanaires. On a vu que ∆ et (AB) étaient orthogonales, donc elles

espérances des Xi et sa matrice de dispersion D(X) de terme général Cov(Xi , Xj) pour 1 i n et 1 j n. d) - Théorème 5 Soit X un vecteur aléatoire normal et A une transformation affine de IRn, alors le vecteur aléatoire A (X) est normal. e) - Théorème 6 Soit X un vecteur aléatoire normal d'espérance m(X) IRn et de matrice de dispersion D(X). une application linéaire de IRn de matrice M, alors le vecteur aléatoire Soit (X) est normal et a pour espérance (m(X)) IRn et pour matrice de dispersion M D(X)

(la pente)  s2 x  a = y − b¯ = y − sxy x (la constante). ¯ x ¯ ¯  s2 x Pour v´rifier qu’il s’agit bien d’un minimum, on doit montrer que la matrice hessienne des d´riv´es secondes e e e est d´finie positive. Cette matrice vaut : e  2  ∂ M (a, b) ∂ 2 M (a, b)  ∂a2 ∂a∂b   H= 2  ∂ M (a, b) ∂ 2 M (a, b)  . ∂a∂b ∂b2 On a ∂ 2 M (a, b) = 2n, ∂a2 La matrice hessienne vaut donc n ∑ ∂ 2 M (a, b) =2 x2 , i ∂b2 i=1 n ∑ ∂ 2 M (a, b) =2 xi = 2n¯. x ∂a∂b i=1 et ( n H=2 ∑ xi  1 . . . X = 1  . 

ici 40), p le nombre de variables (quantitatives) du premier groupe (les gènes) et q le nombre de variables (également quantitatives) du second groupe (les acides gras). On désignera par X la matrice, de dimension n×p, contenant les observations relatives au premier groupe de variables et par Y la matrice, de dimension n × q, contenant celles relatives au second groupe. La j-ième colonne de X (j = 1, . . . , p) contient donc les observations xj de la j-ième variable du premier groupe (noi tée

associée sur Rn , Sn−1 la sphère de rayon 1 dans Rn , Mn (R) l’espace des matrices réelles à n lignes et n colonnes, In la matrice identité dans Mn (R), GLn (R) le sous-ensemble de Mn (R) des matrices inversibles, et SLn (R) celui des matrices de déterminant 1. On note Tr (M ) la trace d’une matrice M de Mn (R), t M sa transposée, M la matrice de ses cofacteurs, et l’on rappelle la formule M t M = det(M ) In . Si M est une matrice de Mn (R), on désigne par exp M son exponentielle, définie par +∞ Mk .

185 185 185 186 188 189 17 Matrices 17.1 D´finition d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 17.2 Matrice d’une application lin´aire relativement a deux bases e ` 17.3 Produit matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.4 L’alg`bre des matrices carr´es. . . . . . . . . . . . . . . . . e e 17.5 Matrices remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.5.1 Matrices scalaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.5.2 Matrices diagonales . . . . . . . . .

185 186 188 189 17 Matrices 17.1 D´finition d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 17.2 Matrice d’une application lin´aire relativement a deux bases e ` 17.3 Produit matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.4 L’alg`bre des matrices carr´es. . . . . . . . . . . . . . . . . e e 17.5 Matrices remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.5.1 Matrices scalaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.5.2 Matrices diagonales . . . . . .