Matrice orthogonale

e e e a m´thode de relaxation qui rep´sente une g´n´ralisation de la e e e e m´thode de Gauss-Seidel. e 1.1 M´thodes it´ratives: Approche g´n´rale e e e e (1) Les principales m´thodes it´ratives sont bas´es sur une d´composition e e e e de la matrice A du syst`me sous la forme e A=M −N (2) avec M inversible et d’inverse assez facile ` calculer. Le a syst`me (1) s´crit alors e e Mx = Nx + b ou encore x = M −1 N x + M −1 b (4) (3) 2 qui est ` l’origine du sch`ma it´ratif suivant a e e

Loi de Gauss bidimensionnelle centrée . . . . . . . . . . . 2.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Lois marginales des variables aléatoires X1 et X2 2.2.2 Covariance entre X1 et X2 . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 Matrice de covariances du couple (X1 ; X2 ) . . . . 2.3 Loi gaussienne bidimensionnelle centrée et réduite . . . . 2.4 Lois gaussiennes conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Lois gaussiennes bidimensionnelles quelconques . . . . . . . . . . .

Sciences Math´matiques (SM) e e e et Sciences Math´matiques et Informatique (SMI) obtenues dans le premier semestre S1 de e l’ann´e universitaire 2003 /2004 dans les disciplines suivantes : e L’ensemble des donn´es peut ˆtre sch´matis´ par une matrice X ` n lignes et p colonnes. e e e e a Si X est le tableau (nxp) des notes, les colonnes repr´senteront les variables xi (les disciplines), e les lignes repr´senteront les individus ej ( ´tudiants ), alors que xij est la note obtenue par e e l’´tudiant

xtA(b− Au) = 0, ainsi b− Au est orthogonal à Im A. Comme les vecteurs b−Au et Ax sont orthogonaux, alors d’après Pythagore, ‖b − Ax‖ = ‖b − Au‖ + ‖A(u − x)‖ ≥ ‖b − Au‖ et d’après la caractérisation de la projection Au = PIm A(b). (b) On a, pour tout x ∈Mq,1 ‖b−Au‖ ≤ ‖b−Ax‖+‖Ax−Au‖ ≤ ‖b−Ax‖, donc ‖b− Au‖ = min{‖b− Ax‖p/x ∈Mq,1(R)} ce minimum est atteint pour tout vecteur x ∈Mq,1(R) tel que Ax = Au. 2. On sait, d’après la question 1.(a) de cette partie, que b−Au est orthogonal à Im(A), c’est-à-dire ∀x ∈Mq

vectoriels, applications linéaires et matrices 3.1 Espaces et sous espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Somme et somme directe de plusieurs sous espaces 3.2 Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Sous espace stable par une application linéaire . . 3.2.3 Polynômes annulateurs d’une application linéaire . 3.3 Matrices d’une application linéaire .

Différentielle et accroissement . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.4 Recherche d’extrema locaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Méthode de Gauss pour résoudre des systèmes d’équations linéaires 2.7 Matrices, applications linéaires et directions conservées . . . . . . . 2.7.1 Comment trouver la matrice d’une symétrie donnée ? . . . . Symétrie par rapport à un plan . . . . . . . . . . . . . . . . Symétrie par rapport à une droite . . . . . . . . . . . . . . . En résumé . . . . . . . . . . . . . .

Différentielle et accroissement . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.4 Recherche d’extrema locaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Méthode de Gauss pour résoudre des systèmes d’équations linéaires 2.7 Matrices, applications linéaires et directions conservées . . . . . . . 2.7.1 Comment trouver la matrice d’une symétrie donnée ? . . . . Symétrie par rapport à un plan . . . . . . . . . . . . . . . . Symétrie par rapport à une droite . . . . . . . . . . . . . . . En résumé . . . . . . . . . . . . . .

Sujet 1, Sujet national, juin 2011, Exercice 4 L’espace est muni d’un repère orthonormal (O ; i, j, k). Partie A On désigne par P le plan d’équation ax + by + cz + d = 0 et par M0 le point de coordonnées (x0 ; y0 ; z0 ). On appelle H le projeté orthogonal du point M0 sur le plan P. On suppose connue la propriété suivante. Propriété : Le vecteur n = ai + bj + ck est un vecteur normal au plan P. Le but de cette partie est de démontrer que la distance d(M0 , P) du point M0 au plan P, c’est-à0 +by0 +cz0

dimension n ≥ 1, muni du e e e produit scalaire not´ (x|y). La norme euclidienne associ´e est not´e ||x|| = (x, x). e e e e On note L(En ) l’ensemble des endomorphismes de En , S(En ) l’ensemble des endomorphismes sym´triques de En , O(En ) son groupe orthogonal et GL(En ) l’ensemble des endomorphismes inversibles de En . Par la suite, φ d´signe un autre produit scalaire sur En et on note Sφ = {x ∈ En / φ(x, x) = 1}. e I – Premi`re partie e 1. Montrer qu’il existe u ∈ S(En ) ayant toutes ses valeurs propres

notera J”(u) · v · w. Exemples de base 1. J(u) = (c, u), J”(u) = 0. 2. J(u) = a(u, u), alors J (u).v.w = a(v, w) + a(w, v), et si a est symétrique J (u).v.w = 2a(v, w). Si V = Rn , J(u) = 1 (Au, u) où A est une matrice symétrique, alors J”(u) = A 2 pour tout u. 3. Si V = Rn , J (u) est la matrice des dérivées partielles secondes ∂2J ∂xi ∂xj (u). 1.3.3 Formules de Taylor Taylor Mac-Laurin ordre 1 Si J : V → R est définie et continue sur [u, v], différentiable sur ]u, v[, il existe θ ∈]0, 1[ tel que