Matrice orthogonale

Applications linéaires particulières 1re année 64 65 66 67 Orthogonalité 2e année 207 56 57 58 59 Écritures matricielles 1re année Espaces vectoriels euclidiens 2e année 211 Calcul matriciel 1re année Endomorphismes orthogonaux 2e année 212 Changements de bases 186 1re année Systèmes linéaires 1re année 189 Endomorphismes symétriques 2e année 216 VII Table des matières Partie 5 – Géométrie 68 69 70 71 72 73 74 Espaces affines 1re année

premi`re ann´e, le programme d’alg`bre et g´om´trie combine l’´tude de l’alg`bre lin´aire (espaces vectoriels, e e e e e e e e applications lin´aires, alg`bres, dimension, rang, calcul matriciel, espaces vectoriels euclidiens, automorphismes e e orthogonaux) et de ses interventions en alg`bre, en analyse et en g´om´trie affine et euclidienne ; il comporte e e e en outre l’´tude de l’arithm´tique ´l´mentaire et des polynˆmes ` une ind´termin´e. e e ee o a e e En seconde ann´e, le programme d´veloppe de

1 Soit b la forme bilinéaire symétrique sur R3 de matrice  1 2 3 . Quel est le noyau de b, le rang de b ? 1 3 5 Trouvez une base de l'orthogonal pour b de         1 0 1 1 F = Vec  0  ,  0  , de G = Vec  1  ,  0  . 1 0 1 0 Comparer avec les résultats du cours sur la dimension de l'orthogonal. Exercice 1  Exercice 2 Soit R2 [X] l'espace vectoriel des polynômes de degré ≤ 2 à coecients réels. Calculer la matrice dans la base (1, X, X 2 ) de la forme bilinéaire symétrique

matricielle : �� � �� � � x � x˙ 1 m1 0 −c2 k1 + k2 � ¨1 + c1 + c2 � + 0 m2 � x ¨2 −c2 c2 + c3 � x˙ 2 −k2 soit : M¨ q + Cq˙ + Kq = f (t) matrice de masse symétrique définie positive matrice d’amortissement ? � �� � x1 � f1 (t) −k2 � � = � f2 (t) k2 + k3 � x2 � � x1 (0) + 2 CI : q0 = �� x (0) 2 � � x˙ 1 (0) q˙ 0 = �� x˙ 2 (0) vecteur d’excitation matrice de raideur symétrique semi-définie positive � � x1 q(t) = �� x2 1) Equations de mouvement Généralisation : système à N d.d.l. N équations

= BT j j G( f ) En introduisant la notation (Valeur moyenne en fréquence) : G( f ) = 1 G ( f )df B∫ B Par ailleurs nous avons eu l’occasion de présenter précédemment l’expression de la vraisemblance Logarithmique en fonction de la matrice interspectrale : Lk , j = − Ln πΓ( f j ) − X k ( f j )Γ −1 ( f j )X k ( f j ) + On peut introduire : 1 ˆ Γ( f j ) = N et donc écrire : k =1, N ∑ X ( f )X ( f ) k j + k j ∑L k k, j ˆ = − N Ln πΓ ( f j ) + Tr Γ −1 ( f

............................................................... 5 3.1.3 Analyse dans l'espace des échantillons ................................................................................... 5 3.1.4 Reconstruction complète et partielle de la matrice X .............................................................. 6 3.1.5 Coordonnées des observations et des variables sur les vecteurs propres (composantes principales) ............................................................................

réel x la valuation p-adique de n le coefficient binomial « k parmis n » le symbole de Kronecker le ne groupe symétrique le ne groupe alterné les polynômes de degré ≤ n à coefficients dans l’algèbre des matrices carrés de taille n à coefficients dans le groupe linéaire de degré n sur la transposée de la matrice M le segment [0; 1] (à homéomorphisme près) k k P(E) (X, Y) x vp (n) Ck n j δi Sn An n [X] n( ) n( ) t M la boule unité de l’espace euclidien la sphère unité de l’espace euclidien k k+1

Sur l’usinabilité des composites à matrices polymères renforcée par des fibresMécanique & Industries 11, 93–103 (2010) www.mecanique-industries.org c© AFM, EDP Sciences 2010 DOI: 10.1051/meca/2010021 Mécanique & Industries Sur l’usinabilité des composites à matrices polymères renforcée par des fibres Francisco Mata Cabrera1,a, Issam Hanafi2, Abdellatif Khamlichi2, Abdallah Jabbouri3 et Mohamed Bezzazi3 1 École universitaire polytechnique d’Almaden, Place Manuel Meca, 1, 13400, Almaden

Rn (une coordonn´e par individu dans e e l’´chantillon). La collection des p − 1 mesures ou variables explicatives d´finit avec le vecteur dont e e les n coordonn´es sont ´gales ` 1 une matrice n × p appel´e le design (ou plan d’exp´rience) que e e a e e nous noterons Z. Dans le cas de la r´gression simple, la matrice Z comportait seulement 2 colonnes. e Le vecteur colonne form´ par les n valeurs de la variable ` expliquer est not´ Y. e a e Le probl`me de la r´gression lin´aire revient ` chercher une

5 6 7 11 11 12 12 13 13 13 2 Alg`bre lin´aire et repr´sentation des vecteurs e e e 2.1 2.2 2.3 Matrices et vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Op´rations sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e Interpr´tation g´om´trique des vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e e 3 Statistique descriptive ´l´mentaire ee 3.1 3.2 La matrice des donn´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e Param`tres de position . . . .