Matrice orthogonale

diff´rentiable au point a et g est diff´rentiable au point f(a), alors g ◦ f est diff´rentiable au point e e e a avec → − → − → − d(g ◦ f)a ( h ) = (dg)f(a) ◦ dfa ( h ), ∀ h ∈ Rn . 15.3 Matrice Jacobienne D´finition 73 e Soit f : U ⊂ Rn −→ Rp diff´rentiable en un point a ∈ U, sa matrice Jacobienne au point a est la matrice e note Ja f ∈ Mp,n (R), d´finie par la relation: e Ja f = MB,B (dfa ) o B, B sont respectivement les bases canoniques de Rn et Rp . Proposition 60 Soit f, g : U ⊂ Rn −→ Rp , λ ∈ R et

suppl´mentaires dans E et non r´duits au vecteur e e nul. Soit u1 ∈ L(E1 ), u2 ∈ L(E2 ) et u3 ∈ L(E2 , E1 ). Alg`bre e On note u l’endomorphisme de E tel que : ∀ x ∈ E1 , u(x) = u1 (x) ∀ x ∈ E2 , u(x) = u2 (x) + u3 (x) 49 1. Donner la forme de la matrice de u dans une base de E obtenue en mettant bout ` bout une base de E1 et une base de E2 . a 2. a) Soit (x1 , x2 ) ∈ E1 × E2 et λ ∈ R. On pose x = x1 + x2 . Montrer que : u1 (x1 ) + u3 (x2 ) = λx1 u(x) = λx ⇐⇒ u2 (x2 ) = λx2 b) En d´duire que λ est

variables y, x1 , ..., xk , ...xK cela donne K + 1 vecteurs colonnes suivants du type : y1 , x1 , ..., xk , ...xK y y1 . . . yi : yN x1 1 . . . 1 : 1 xk x1k . . . xik : xN k xK x1K : xiK : xN K TAB . 1.1 – variables y et xi Et en particulier, la matrice des observations concernant les variables indépendantes est notée X(N,K) . D’où, étant donnés y et X : calculer les coefficients de régression, c’est à dire les paramètres de la relation linéaire. colonne k de X : notée xk ligne i de X : notée xi Soit

d’un point O peut être définie par : — un axe ∆, passant par O, portant un vecteur unitaire u ; — un angle θ, que l’on peut éventuellement limiter à (0, 180˚) sans perte de généralité : en effet, une rotation (– θ0 , u ) peut être quand V 1 est orthogonal à V 2 . De plus, l’application répétée de (11) nous conduit à : 1 V 1 ⋅ V 2 = – ---- ( V 1 V 2 + V 2 V 1 ) 2 1 V 1 ∧ V 2 = ---- ( V 1 V 2 – V 2 V 1 ) 2 (14) (15) et Étant donné un quaternion q = q 0 + q 1 i + q 2 j + q 3 k , nous appelons conjugué

que ker p et Imp sont des parties ferm´es. e b. Montrer que N (p) 1 c. Quand a-t-on N (p) = 1? 20 d. Montrer que si la s´rie de fonctions de terme g´n´ral pn avec pn projecteur orthogonal, converge simplement vers e e e p, montrrer que p est un projecteur orthogonal. e. Trouver une suite de projecteurs orthogonaux pn non nuls convergeant vers 0 2.3 TPE S(C) → S(C) n k=1 εk k )n TPE 1 Soit Φ : (εn )n → ( a. Que peut-on dire de Φ((1)) puis de Φ((−1)n )et de Φ((j n )) b. On suppose

Suites Fonctions continues Dérivation, développements limités Intégration Courbes paramétrées 85 119 139 189 221 Partie 3 Algèbre 10 Algèbre générale 11 Arithmétique 12 Algèbre linéaire 13 Algèbre linéaire en dimension finie 14 Matrices 15 Polynômes 16 Espaces euclidiens Index 239 251 261 277 301 339 361 393 9782100547678-Fresl-Avt.qxd 8/07/10 12:27 Page IV Avant-propos Cet ouvrage s’adresse aux élèves de première année de classes préparatoires scientifiques

. . . . . . . . . Techniques de calcul Calcul de cos Trigonométrie π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Minimum d’une somme de distances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matrices, déterminant, nombres complexes, géométrie Cocyclicité dans le plan complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nombres complexes, géométrie plane Fonctions usuelles 7 8 9 10 Autour d’une suite de fonctions . . . . .

interpr´tation g´om`trique de l’int´grale I. e e e e Exercice 3 (sur base oral Agro 2008) On pose la matrice de M3 (R) :  1 −1 −1 A =  −1 1 −1  . −1 −1 1 1. Montrer que pour tout n ∈ N, il existe deux nombres r´els an et bn tels que : e An = an A + bn I3 . On donnera ´galement une relation entre an+1 , bn+1 et bn et an . e 2. La matrice A est-elle inversible ? Si oui, calculer sa matrice inverse. 3. Calculer An pour tout n ∈ N. 4. Peut-on g´n´raliser la formule ` n ∈ Z ? e e a  Exercice

NOTES DU COURS DE MATHS 3 CHRISTIAN LÉONARD 1. Rappels sur les espaces vectoriels Nous rappelons quelques propriétés fondamentales de l’espace vectoriel Rn . Nous revisitons en particulier les notions de base vectorielle et de matrice qui ont été introduites dans le cours de Maths 2. 1.1. Vecteurs, bases, parties libres. L’ensemble Rn est composé des éléments − → x = (x1 , . . . , xn ) = (xi )1≤i≤n où les xi , 1 ≤ i ≤ n sont des nombres réels. Rn est donc le produit cartésien de n copies

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a e e e 20 : Familles de vecteurs et de reflexions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 : Borne inf´rieure d’un ensemble de nombres r´els. Densit´ de Schnirelmann. . . e e e 22 : Rang et matrices extraites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 : Sommets d’une courbe param´tr´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e 24 : Suite implicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .