Factorisation

d’Euler améliorée, 4. Méthode de Runge-Kutta. Chapitre 6 : Méthode de résolution directe des systèmes d’équations linéaires 2 semaines 1. Introduction et définitions, 2. Méthode de Gauss et pivotation, 3. Méthode de factorisation LU, 4. Méthode de factorisation de Choeleski MMt, 5. Algorithme de Thomas (TDMA) pour les systèmes tri diagonales. Chapitre 7 : Méthode de résolution approximative des systèmes d’équations linaires 2 semaines 1. Introduction et définitions

voir page 12 voir page 11 voir page 12 Pour réels et un entier naturel non nul, factoriser Exercice 9. 2 Factorisations Identités remarquables. Réponse : voir page 12 pour réel (ou complexe) si si Somme des termes d'une suite géométrique : où sont trois nombres réels ou complexes. pour réels (ou complexes) et un entier naturel non nul : Factorisation Il n'y a pas de coecients binômiaux dans la formule ci-dessus ! Exercice 10. Calculer en fonction de Exercice

nombre d'opérations et beaucoup de mémoire pour effectuer les calculs -> infaisable ! Par exemple dans RSA, l'algorithme le plus utilisé actuellement, la déduction de la clé privée à partir de la clé publique revient à résoudre un problème de factorisation de grand nombre que lequel travaille les mathématiciens depuis plus de 2000 ans ! Pr :Bouden Cryptographie Le choix des clés doit être fait de la manière la plus imprédictible possible : éviter les mots du dictionnaire, nombres pseudo-aléatoires

(a2/3+a1/3b1/3+b2/3) = (( a1/3 × a2/3)+( a1/3× a1/3b1/3)+( a1/3× b2/3)+( -b1/3× a2/3)+(- b1/3× a1/3b1/3)+(- b1/3× b2/3) =a+a2/3b1/3+a1/3 b2/3- b1/3 a2/3- a1/3b2/3-b = a –b b) Loga (x2-4) – loga (x-2) On a x2 -4 est différence de carrés, la factorisation nous donne (x+2)(x-2) Loga (x+2)(x-2) – loga(x-2) Le logarithme d’un produit est égal à la somme des logarithmes des facteurs : Loga (x+2) + loga(x-2) – loga (x-2) En simplifiant on obtient loga (x+2)

l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. G. Qu’est-ce que la quatrième proportionnelle à 3 nombres ? La quatrième proportionnelle à 3 nombres  a, b et c est le nombre x tel que a = c b = x 2. Factorisation et C.E : A. Qu’est-ce que factoriser un polynôme ? Factoriser un polynôme, c’est le transformer en un produit de facteurs. B. Méthodes : I. La mise en évidence (infinité de termes) II. Les produits remarquables :

Il semble que Sn = n 2n + 1 . c) Démontrer cette formule par récurrence. La formule est vraie au rang 1. Supposons la formule vraie au rang n− 1 et prouvons la au rang n. (Rq : le passage de n à n + 1 est un peu plus difficile au niveau des factorisations) On a Sn−1 = n− 1 2n− 1 . Alors Sn = Sn−1 + 1 4n2 − 1 = n− 1 2n− 1 + 1 (2n− 1)(2n + 1) . Donc Sn = (n− 1)(2n + 1) + 1 (2n− 1)(2n + 1) = 2n2 − n (2n− 1)(2n + 1) = n(2n− 1) (2n− 1)(2n + 1) = n 2n + 1 . Ceci est la formule cherchée. On peut alors

1). x−1 (x − 1)2 k=1 Le calcul précédent est valable pour x dans R, mais l’expression finale de Tn (x) reste vraie dans C. Voici un résultat analogue au précédent (mais davantage du point de vue de la factorisation) : Proposition 2.2.4 Pour tous x, y dans C, et pour tout n de N∗ , on a la factorisation : n−1 xn−1−k y k = (x − y)(xn−1 + xn−2 y + · · · + xy n−2 + y n−1 ). xn − y n = (x − y) k=0 Si l’entier n est impair (en appliquant ce qui précède à −y plutôt qu’à y) : n−1 (−1)k xn−1−k y k = (x

2ème exemple : x–2 = 0 admet pour solution 2 et pour valeur interdite – 1. 2x+ 1 2 (2x – 8)(x +1) =0 x2 – 8x +16 ⇔ (2x – 8)(x + 1) = 0 et x2 – 8x +16 ≠ 0 équation quotient ⇔ 2x – 8 = 0 ou x + 1 =0 et (x – 4)2 ≠ 0 équation produit et factorisation ⇔ x = 4 ou x = – 1 et x – 4 ≠ 0 +8 puis ÷2 ; –1 ; règle des carrés ⇔ x = 4 ou x = – 1 et x ≠ 4 +4 On trouve alors qu’une solution est valeur interdite ; elle est donc éliminée et il ne reste comme solution que –1. (2x – 8)(x +1) Donc l’équation

si deux entiers donnés sont premiers entre |Depuis la classe de cinquième, les élèves ont pris l’habitude de simplifier| |entiers |eux. |des écritures fractionnaires : la factorisation du numérateur et du | | | |dénominateur se fait grâce aux critères de divisibilité et à la pratique du| | |

théoriquement sensé, la rotation oblique est suggérée, car il est difficile de postuler l’orthogonalité (corrélation = 0) entre des facteurs d’un même construit. Ultimement, on suggère de procéder à plusieurs types de rotation pour une même factorisation et de sélectionner celle qui semble la plus intéressante à interpréter et la plus robuste au plan conceptuel. 3) Identification du poids le plus élevé pour chaque variable La prochaine étape est de prendre chaque variable (ou item) en commençant