Mathématiques 2010-2011
Exemples de raisonnement par récurrence
Exemple 1(1892)
Le problème des tours de Hanöı est un jeu de réflexion imaginé par le mathématicien français Édouard Lucas, et consistant à déplacer des disques de diamètres différents d’une tour de � départ � à une tour d’� arrivée � en passant par une tour � intermédiaire � et ceci en un minimum de coups, tout en respectant les règles suivantes :
- on ne peut pas déplacer plus d’un disque à la fois,
- on ne peut …afficher plus de contenu…

Il est facile de démontrer par récurrence que si n est le nombre de disques, il faut 2n − 1 coups au minimum pour parvenir à ses fins, quantité qui augmente très rapidement avec n. En effet, soient a, b et c les trois emplacements des tours. Notons xn le nombre de déplacements de disques nécessaires au déplacement d’une tour complète. Pour déplacer une tour de n disques de a vers c, on déplace la tour des n-1 premiers disques de a vers b, puis le disque n de a vers c, puis la tour des n-1 disques de b vers c. Le nombre de déplacements de disques vérifie donc la relation de récurrence :
{
x1 = 1, xn = 2xn−1 + 1, si n > 1 ce qui donne bien xn = 2n − 1.
En effet, cette formule est vraie pour n = 1 et on suppose que xn−1 = 2n−1 − 1, …afficher plus de contenu…

1* hérédité : pour un entier n arbitraire, on suppose que 1+3+ . . .+(2n−1) = n2. Puisque l’entier impair qui suit 2n− 1 est 2n + 1, on en déduit que :
1 + 3 + . . . + (2n− 1) + (2n + 1) = n2 + 2n + 1 = (n + 1)2, c’est-à-dire que la propriété au rang suivant.
La propriété est vraie pour tout n.
On peut en déduire alors que 1 + 3 + . . . + 99 = Σ50 i=1(2i− 1) = 502 = 2500.
Exemple 3
C’est en fait un exercice qui montre que le raisonnement par récurrence doit être manipulé avec précaution. En effet :
Trouver l’erreur dans le raisonnement par récurrence suivant.
Soit P (n) la propriété ” dans n’importe quel groupe de n personnes, tous les gens ont le même âge”.
P (1) est vraie de façon