Factorisation

sont les conjuguées l'une de l'autre. Note : ∆ étant un réel négatif, son opposé −∆ est un réel positif. a) Comme P ( 2 ) = 23 − 8 = 8 − 8 = 0 alors 2 est une racine réelle du polynôme P. Donc ce dernier est factorisable par z − 2 . Entamons la factorisation de P par z − 2 . x f (α) = 1 + α2 α d) Tracer la courbe (C) ainsi que toutes les droites rencontrées au cours de l'exercice. Dernier exercice : exponentielle vs exponentielle La fonction f est définie sur par : f (x) = On note (C)

2 − c) 2a 4a = a (x + b 2 b2 − 4ac ) . ) −( 2a 4a2 √ b− ∆ x+ 2a √ −b+ ∆ 2a et on en déduit que (E) a deux solutions distinctes x1 = et x2 = √ −b− ∆ . 2a Dans R, si ∆ < 0, alors ∆ n’a pas de racine carré, ce qui empêche la factorisation. Dans C, il n’y √ a pas ce problème, par contre retenez que l’on ne pourra pas écrire ∆. √ √ 1 2 5 1+ 5 1− 5 2 Exemple 7.3.1. On trouve x + x − 1 = (x + ) − = (x + )(x + ). Les solutions 2 4 2 2 √ √ −1 + 5 1+ 5 de x2 + x − 1 = 0 sont donc x1 =

D´terminer explicitement une relation de Bezout entre X 5 − 1 et X 2 + X + 1 e Exercice 8.10 Montrer que ∀n ≥ 0, (X − 2)(X − 3) | (X − 2)n + (X − 3)n − 1 Exercice 8.11 P = X 5 − 13X 4 + 67X 3 − 171X 2 + 216X − 108 Calculer (P, P ). En d´duire la factorisation de P. e 10 (E) Exercice 8.12 On pose P (z) = (z + 1)n − exp(2ina) o` a est un nombre r´el. u e 1. Factoriser P 2. En d´duire que 1 − exp(2ina) = (−1)n e 14 n−1 n−1 zk puis que k=0 k=0 sin(a + sin(na) kπ )= − 1. n 2n 3. Calculer

un+1 − un = 1 + un − un = quantité conjuguée de 1 + un − un2 (u − ϕ )(un + ϕ ') =− n . On a utilisé d’abord la 1 + un + un 1 + un + un 2 1 + un − un , puis le fait que le trinôme X – X – 1 admet comme solutions ϕ et -ϕ’ , d’où la factorisation. On sait que un < ϕ d’où un - ϕ < 0. Les autres facteurs étant positifs, on en déduit que : un+1 – un > 0. La suite est croissante. 3) Montrer que la suite (un) converge, et conclure. Croissante et majorée par ϕ , la suite converge vers une

laquelle elle est fortement corrélée. © Claire Durand - L'analyse factorielle et l'analyse de fidélité - 13 juillet 2005 14 En résumé, voici les commandes pour l'analyse factorielle avec Spss -Windows: 6 Allez dans ANALYSE, 6 choisir FACTORISATION - ANALYSE FACTORIELLE Dans le tableau principal de l'analyse factorielle a) Choisir les VARIABLES que l'on veut analyser b) Dans CARACTÉRISTIQUES : - STATISTIQUES 6 CARACTÉRISTIQUES UNIVARIÉES 6 STRUCTURE INITIALE - MATRICE DE CORRÉLATIONS 6 COEFFICIENTS

régulièrement un intérêt et de voir sa créance remboursée à l’échéance La valeur d’une obligation est égale à la valeur actuelle des cash flows futurs ! PV ! C1 "1 %r $ 1 % C2 " 1 %r $ 2 %. . .% VN% C N " 1% r $N ! Factorisation possible : 1#" 1 %r $ !C ( i r i !1 " 1%r $ Ci Copyright : EVAL FINANCE – Le BOURSIER 2008 - ESG n , #n - ! *+( ! Le rendement d’une obligation ! Au lieu de déterminer la valeur de l’obligation en $ ou €, les prix des

neurones Machines à noyaux, machines à vecteurs de support Réseaux de neurones profonds et apprentissage de représentations Réseaux récurrents Apprentissage non supervisé       Algorithme EM et mélange de densités Clustering spectral Factorisation matricielle Quelques liens utiles  2 Apprentissage Statistique - P. Gallinari Introduction Apprentissage à partir d'exemples 3 ingrédients de base     Données {z1, ..., zN} Machine Fθ Critère C (apprentissage et évaluation) But

taille de la population n’influence pas la taille de l’échantillon qui ne dépend que de la précision recherché et de l’erreur toléré. Un échantillon est exhaustif si la taille de la population est petite par rapport à celle de l’échantillon N Factorisation > Analyse factorielle Sélection de variables : 39 Mise en œuvre Caractéristiques : – Statistiques - Caractéristiques univariées : Donne l’espérance et l’écart type de chaque variable. – Statistiques - Structure initiale : Affiche les

+ x - 1 2 Dans chaque cas, compléter les égalités afin de développer, réduire et ordonner suivant les puissances décroissantes de x les expressions données. a. 3x(x + 1) = 3x2 + 3x b. 2(3x)(5x - 3) = 6x  ´ (5x - 3) = 30x2 - 18x 23 Méthodes Factorisation Une expression est factorisée « au mieux » lorsque l’on ne peut plus la factoriser. Les connaissances mises en jeu pour factoriser s’appuient sur : • la reconnaissance d’un facteur commun Exemple : 2x2 + x(x + 1) = 2x ´ x + x ´ (x + 1) = x(2x + (x + 1)) = x(3x + 1)

n≥0 1 − b n≥0 Ces deux séries sont absolument convergentes puisque |a| < 1 et |b| < 1. On peut faire le produit de Cauchy et donc on obtient que n 1 1 × = wn avec wn = ak bn−k . 1 − a 1 − b n≥0 k=0 Si a = b, on trouve directement que wn = la factorisation n n k=0 a = (n + 1)an . Si a = b, alors il faut utiliser n an+1 − bn+1 = (a − b) × k=0 ak bn−k qui donne le résultat. Exercice 38 - Séries semi-convergentes et produit de Cauchy - Math Spé/Agreg interne - http://www.bibmath