Factorisation

peut restreindre l’étude de f à l’intervalle [0 ; π]. 2. Montrer que la fonction dérivée f’ de f est définie sur IR par f’(x) = 2 cos²x + cos x − 1. 3. Etude du signe de f’(x) sur [0 ; π] : a. Factoriser le polynôme 2X² + X − 1 b. En déduire une factorisation de f’(x). c. Déterminer les valeurs qui annulent f’(x) sur [0 ; π]. d. Etudier le signe de f’(x) sur [0 ; π]. e. Dresser le tableau de variation de f sur [0 ; π]. 4. Déterminer, sur l’intervalle [0 ; π], les abscisses des points d’intersection

dans son bureau où se trouver Coralie RAHAL. Il m’a emmené au service RESA ( Réservation ) où je travaillerais pendant deux jours : Le premier jour avec Catherine et Cecilia pour la factorisation individuel et le second avec Rose et Khady a la factorisation de groupe . Catherine m’a appris cela : il y a 112 chambres dont une chambre vue jardin pour handicapé,6 suites vue mer , 6 cahmbres prestiges , 6 twin vu jardin , 6 twin vu mer , 46 King vu mere et 41 king vu jardin

FACTORISATIONS Vient du latin « Factor » = celui qui fait Introduction : Retrouver les expressions qui sont factorisées : A = (2x + 1)(1 + x) F = (1 + 3x)(x – 2) + 1 K = (x – 4) – 3(5 + 2x) B = (x + 3) + (1 – 3x) G = 4x – 15 L = (6 + x)2 – 4(2 + 3x) C = (x – 4) – 3(3 + 2x) H = (8x + 4)(2x + 1)(1 + x) M = (2 + 2)(3 – 4x) D = 2(1 + x) I = (x + 15)2 N = x(x – 2) E = 3(5 + x)(32 + 5x) J = 4 – (x – 5)(3x – 5) O = (2x + 1)2(1 + x) Réponses : A, D, E, H, I, M

sont donc 1 ; 1+ 2 1– 2 et 2 2 Problème : Partie A 1. P est la fonction définie sur R par P(x) = 4x3  6x²  2 P(x)  (x  1)Q(x) où Q est une fonction polynôme du second a) Montrer que -1 est une racine de P. b) En déduire une factorisation de P(x) sous la forme degré à déterminer. c) Etudier le signe de P(x) . 2. On définie sur  la fonction g par repère. g(x)  x4  2x3  2x  1 et on appelle C g la courbe représentative de g dans un a) Etudier, à l’aide de la question 1)

Les solutions lorsqu’elles existent de l’équation =0 sont appelées les racines du polynôme. gaelle.buffet@ac-montpellier.fr http://gaellebuffet.free.fr/ Page 8 sur 18 7 September 2011 Chap 1. Second degré Première STI2D2 Théorème de factorisation o si riser o si ser o si dans . gaelle.buffet@ac-montpellier.fr http://gaellebuffet.free.fr/ Page 9 sur 18 7 September 2011 alors il y a deux racines et et on peut facto- alors il y a une seule racine et on peut factori- alors

b2 - 4ac  0. Donc P admet au moins une racine réelle. Exercice 5 Posons X = x . Ainsi, l'inéquation s'écrit : - X + 17X - 16  0. 2 2 Le trinôme - X + 17X - 16 admet une racine évidente : X1 = 1. L'autre racine est donc : X2 = 16. D'où la factorisation : - X + 17X - 16 = -(X - 1)(X - 16) = -( x - 1)( x - 16) = -(x - 1)(x + 1)(x - 4)(x + 4). On conclut avec un tableau de signes et l'on trouve : S = [-4 ; -1] È [1 ; 4]. Exercice 6 Aire de ADE : 1 2 On veut : Aire(ADE) = 1 2 On trouve x = 6 ou x

Développer et réduire E. 2. Factoriser E. 3. Résoudre l’équation : (2x – 3)( –2x – 8) = 0 Exercice 3 : (2 points) On donne l’expression : F = 4x ² – 49 + (2x – 7)(3x + 2) . 1. Factoriser l’expression : 4x ² – 49 2. En déduire la factorisation de l’expression F. Exercice 4 : (3,5 points) 1. Calculer le PGCD de 3 120 et 2 760. 2. Simplifier la fraction [pic] pour la rendre irréductible : vous noterez sur votre copie le détail des calculs. 3. Un confiseur dispose de 3

11/7 est a peu près = à 11,57 à 0,01 près par défaut 11/7 est a peu près = à 11,58 à 0,01 près par excès VI. Distributivité Propriété: a, b et k désignent des nombres relatifs Développement: ka + kb Factorisation: ka + kb = k (a + b) Autrement dit: développer c’est écrire un produit sous la forme d’une somme et factoriser c’est écrire une somme sous la forme d’un produit. Exemples: Développer des expressions suivantes 6 (x - 2) = 6x + 6 x (-2) = 6x

messages. La sécurité des cryptosystèmes à clef publique est basée sur la difficulté voire l’infaisabilité pratique de résoudre certains problèmes mathématiques. En particulier le problème sur lequel est fondée la sûreté de RSA est celui de la factorisation des grands entiers. 7.3.2. Cryptosystème RSA L’un des premiers cryptosystèmes à clef publique, RSA, fut développé par Rivest, Shamir et Adleman [RIV 78]. Étant donnés deux entiers premiers p et q il est aisé de calculer leur produit n = pq

seule fonction trigonométrique, par élévation au carré et utilisation des identités ; on peut écrire cos x  1  sin x cos 2 x  (1  sin x)2  1  2 sin x  sin 2 x et 1  sin 2 x  1  2sin x  sin 2 x , d’où 2sin 2 x  2sin x  0 . Après factorisation sin x(sin x  1)  0 , on peut déduire sin x  0  x  0 /  / 2  , 3 ou sin x = –1  x  . 2 L’élévation au carré ne conserve pas l’équivalence entre équations ; elle exige une vérification des résultats. Les solutions potentielles sont celles