Factorisation

�� 2 + �� − 2 = 0 Δ = �� 2 − 4���� = 12 − 4 × 1 × −2 = 1 + 8 = 9 > 0 L’équation a deux solutions réelles distinctes : −1 + 9 −1 + 3 2 −1 − 9 −1 − 3 −4 ��1 = = = = 1 ���� ��2 = = = = −2 2 2 2 2 2 2 1 et −2 sont racines du polynôme �� 2 − 3�� + 2 Factorisation : �� 2 − 3�� + 2 = �� �� − ��1 �� − ��2 = �� − 1 �� + 2 Vérification : �� − 1 �� + 2 = �� 2 − �� + 2�� − 2 = �� 2 + �� − 2  Résoudre l’équation : −3�� 2 + 2�� − 4 = 0 Δ = �� 2 − 4���� = 22 − 4 × −3 × −4 = 4 − 48 = −44 < 0 L’équation n’a pas de

Conjecturer Pn. Exercice 3. (5 points) Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de Spécialité. Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 5, on considère les nombres a = n3 – n2 – 12n et b = 2n2– 7n – 4. 1. Montrer, après factorisation, que a et b sont divisibles par n – 4. 2. On pose ( = 2n + 1 et β = n + 3. On note d le pgcd de ( et β. a. Etablir une relation entre ( et β indépendante de n. b. Démontrer que 5 divise d. c. Démontrer que les nombres (

Corrig´ de la feuille de TD 6 e Exercice 1 X 7 + 1 = (X + 1)(X 3 + X + 1)(X 3 + X 2 + 1) est une factorisation complˆte. e Un code cyclique de longueur 7 ´tant engendr´ par un diviseur de g(X) de e e X 7 + 1 (de degr´ n − k), on a les cas suivants : e g(X) = (X + 1), qui donne un code de param`tres (6, 7). e On reconnaˆ le bit de parit´. ıt e g(X) = (X 3 + X + 1), qui donne un code de param`tres (4, 7). e On reconnaˆ un code de Hamming. ıt g(X) = (X 3 + X 2 + 1), qui donne un code de param`tres

Exemples de développements déjà rencontrés 34 × 19 = 34 × (20 – 1) = 34 × 20 – 34 = 680 – 34 = 646 Pour n’importe quel nombre x, on a : (x + 5) × 2 = x × 2+ 10 Pour n’importe quel nombre c, on a : (c – 2) × 4 = c × 4 – 8 Exemples de factorisations déjà rencontrés 34 × 14 + 34 × 86 = 34 × 100 = 3400 (on factorise 34) Pour n’importe quel nombre c, on a : c × 4 + c × 4 = c × 8 (on factorise c)

et indique l’absence de valeurs manquantes-Analyse des données- PR M.OUDMANE Pour répondre à la question de l’utilité de la factorisation, nous analysons la matrice de corrélation, la valeur de l’indice KMO et la signification du test de Bartlett. La matrice de corrélation indique qu’il existe plusieurs variables qui sont corrélées à plus de 50% (0.5), la factorisation est donc conseillée. Cette conclusion est confirmée par l’indice de KMO (0,714) et le test de Bartlett qui est significatif (signification

Par exemple, on v´rifie (exercice !) que si e     1 2 3 1 2 3 −1  . on obteint A(2) = 0 0 A = 2 4 5  , 0 −6 −12 7 8 9 Cependant, le r´sultat suivant permet de caract´riser les cas o` l’algorithme e e u de Gauss fonctionne. Th´or`me 3.3 La factorisation LU de la matrice A par la m´thode de e e e Gauss existe si et seulement si les sous-matrices principales   a11 . . . a1k  . . , .  Ak =  . . . ak1 . . . akk obtenues en retirant de A les lignes k + 1, . . . , n et les colonnes k + 1, . .

e R´ esoudre (E1 ) 2x 2 − 12x + 18 = 0. Factorisation on a (E1 ) ⇐⇒ 2x 2 − 12x + 18 =0 Enonc´ e R´ esoudre (E1 ) 2x 2 − 12x + 18 = 0. Factorisation on a donc (E1 ) ⇐⇒ (E1 ) ⇐⇒ 2x 2 − 12x + 18 =0 x 2 − 6x + 9 =0 Enonc´ e R´ esoudre (E1 ) 2x 2 − 12x + 18 = 0. Factorisation on a donc donc (E1 ) ⇐⇒ 2x 2 − 12x + 18 =0 (E1 ) ⇐⇒ (x − 3)2 =0 (E1 ) ⇐⇒ x 2 − 6x + 9 =0 Enonc´ e R´ esoudre (E1 ) 2x 2 − 12x + 18 = 0. Factorisation on a donc donc (E1 ) ⇐⇒ 2x 2 − 12x + 18 =0

cryptanalyste cherche à trouver p et q pour calculer z. => Il doit factoriser un grand nombre en deux facteurs premiers. Ce problème est complexe Meilleurs algorithmes connus - En 1989 avec 400 Vax pendant 3 semaines factorisation d'un nombre de 106 chiffres (352 bits) - Actuellement factorisation possible de nombres de 110 à 120 chiffres (350 à 400 bits) - Si on a trouvé p et q alors utiliser l'algorithme d'Euclide pour trouver e, d premiers avec (p-1) (q-1) = z D'autres attaques sont à découvrir...

(Cf. S. Stein, S. Szabó : Algebra and Tiling, 1994) Conjecture de Minkowski et théorème de Hajos Théorème de Hajós (1942) Soit G un groupe abélien fini et soient a1, a2, …, an n éléments de G. Si l’on suppose que le groupe admet comme factorisation la somme directe des sous-ensembles A1, A2, …, An suivants : Conjecture de Minkowski (1896/1907) Dans un pavage simple [simple lattice tiling] d’un espace à n dimensions par des cubes unités, il y a au moins un couple de cubes qui ont en commun

-4ac). Si p est négatif: pas de solution Si p est positif: Si p =0: ​ −b±√p 2a −b 2a Inéquations Résolution Comme pour équation sauf pour la formulation de réponse. On fait appel à un tableau de signes. Ranger les racines par ordre croissant. Factorisation Si p est positif:   ​ a.(x-x​ 1).(x-x​ ​ 2)​ Si P est négatif: non factorisable. Equation-inéquations fractionnaires Attention aux conditions d’éxistence, sinon comme pour les équations-inéquations. Construction graphique −p -Sommet​ ( −b 2a