Factorisation

donne : (x+4)×x+4 = x2 + 4 x + 4 [ on développe ] = (x+2)2 [on factorise a2+ 2ab+b2 = (a+b)2 ] Le résultat est donc toujours un nombre au carré. 4. On souhaite obtenir 1 comme résultat. Il faut donc que (x+2)2 = 1 (x+2)2 -1=0 (x+2-1)(x+2+1)=0 par factorisation (x+1)(x+3)=0 Un produit est nul si l’un au moins des facteurs est nul. x+1=0 OU x+3=0 x = -1 ou x = - 3 Il faut choisir le nombre -1 ou -3. Exercice 2 1. On choisit -2 (− 2 + 4) × (− 2) + 4=2 × ( − 2 ) + 4 = − 4 + 4 = 0 Le résultat est 0 2

4 et 5 pour des résolutions avec des fonctions particulières. Les tableaux de signes ont été introduits dans chaque chapitre. L’étude de ce chapitre suppose la connaissance des règles de calcul algébrique sur les produits et quotients (factorisations, développements, réduction au même dénominateur, etc.). Il se place donc après l’étude des chapitres 4 (Fonctions du second degré) et 5 (Fonction inverse. Fonctions homographiques). Le cours de ce chapitre est donc axé sur la résolution

divise 2. Il en résulte que : p ∈ {−1; 1} et Exemple : P (x) = 2x3 − x2 + 2x − 1. Si q 1 1 1 q ∈ {−2; −1; 1; 2}. Les racines "évidentes" possibles sont donc : −1, − , et 1. On vérifie ensuite que seul P =0 2 2 2 1 donc que est racine. 2 1.1.2 Factorisation Factoriser un polynôme P du troisième degré, c’est le mettre sous la forme d’un produit de trois facteurs du premier degré ou bien d’un produit d’un facteur du premier degré par un facteur du deuxième degré. Tout polynôme du troisième degré

√∆ 2𝑎 ➢ Si ∆ = 0, alors cette équation admet une seule solution : 𝑥0 = −𝑏 2𝑎 ➢ Si ∆ < 0, alors cette équation n’admet pas de solution réelle. Démo : Pour résoudre l’équation, nous allons « forcer » la factorisation par 𝑎 puis par une Id. Rem. : 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎 (𝑥2 + 𝑏 𝑎 𝑥 + 𝑐 𝑎 ) = 𝑎 [(𝑥 + 𝑏 2𝑎 ) 2 − 𝑏2 4𝑎2

peut s’écrire sous la forme : (z – 2)(z 2 + 4z + 8) = 0. Autres façons : Par l’algorithme de Hörner ou de Ruffini avec la racine 2 : 1 2 0 –16 2 2 8 16 1 4 8 0 On retrouve la factorisation z 3 + 2z 2 – 16 = (z – 2)(z 2 + 4z + 8) En divisant le polynôme z 3 + 2z 2 – 16 par z – 2 : z 3 + 2z 2 – 16 z – 2 – z 3 – 2z 2

ENST BRETAGNE —Futur— • Des milliards de transistors en vue • Intérêt des FPGA (circuits reconfigurables) dans les circuits embarqués Reconfiguration du matériel à la demande (fonctionnalités : visioconférences sur téléphone portable,...) Factorisation du matériel (coût) Économie d’énergie (batteries...) • Circuit programmable ce « programme » WWW sécurité et confidentialité à assurer sur • Possibilité de mise à jour sécurisée du matériel depuis un site • Contacts avec Atmel à Rousset,

le cas où ∆ < 0, ∆ − > 0 ∀x ∈ ℝ, et donc 4a ² 2  b  ∆   x −  −  > 0 ∀x ∈ ℝ 2a  4a ²     ∆=0 ∆>0 Deux racines réelles Une racine Aucune “double” : distinctes : Racines racine −b −b − ∆ −b+ ∆ x0 = réelle x1 = et x2 = 2a 2a 2a Factorisation aucune a(x – x0)² a(x – x1)( x – x2) Signe Signe de a Signe de a à l’extérieur des Signe de a (nul en x0) racines (strict) ∆ 0, alors f est décroissante sur ]-∞ ; α], et croissante sur [α ; +∞[, avec α = −b 2a −b 2a Si a < 0, alors f

euclidienne: 22 mod 4; Pgcd, ppcm: igcd(…); ilcm(…); Décomposition en facteurs premiers: ifactor(12); (résultat: (22)( 3)) Nombres premiers: isprime(12); (réponse: false) ; ième nombre premier: ithprime(3); Polynômes: Evaluation: P:= x+1; eval(P,x=2); Factorisation: factor(x^3 – y^3); Simplification: simplify(…); Ordonner en puissances d'une variable: collect(…,x); Réduction de fractions de polynômes au même dénominateur: normal(1/x+x/(x+1)); Ordonner en puissances décroissantes: sort(…); Degré du polynôme:

de MATLAB opèrent sur des matrices et c'est ce qui fait en grande partie la puissance du logiciel. On peut citer eig (vecteur propre, valeur propre), chol (décomposition de Cholesky), svd (décomposition en valeurs singulières), lu (factorisation LU), qr (factorisation QR), det (déterminant), rank (rang) etc... Ces fonctions peuvent renvoyer un ou plusieurs arguments. Ainsi [X, V] = eig[A], renvoie une matrice X dont les colonnes sont les vecteurs propres de A et une matrice diagonale V constituée

nombres 8.1 Anneaux et corps finis . . . . . . . . 8.1.1 Anneau des entiers modulo n 8.1.2 Corps finis . . . . . . . . . . 8.1.3 Reconstruction rationnelle . . 8.1.4 Restes chinois . . . . . . . . . 8.2 Primalité . . . . . . . . . . . . . . . 8.3 Factorisation et logarithme discret . 8.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . 8.4.1 La constante δ . . . . . . . . 8.4.2 Calcul d’intégrale multiple via 9 Polynômes 180 9.1 Polynômes à une indéterminée . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 9.1.1 Anneaux