Factorisation

bx + c > 0. L’équation f (x) = 0 n’a pas de solution. Signe de   > 0  = 0  < 0 Solutions de ax² + bx + c = 0 x1 = x2 = x0 = - Pas de solution. Forme factorisée de f a (x – x1)(x – x2) a (x – x0)² Pas de factorisation. Remarques :  Les solutions, lorsqu’elles existent, sont les abscisses des points d’intersection de la courbe représentative de f et de l’axe des abscisses.  Lorsque  = 0, l’unique solution x0 est appelée racine double de f. Définition :

moins une valeur du re�el a telle que la tangente a$ la courbe repre�sentative de la fonction f au point d’abscisse a passe par le point de coordonne�es (2; -2) ? a) Re�soudre dans ℝ l’e�quation d’inconnue a : a2−4a+3=0 et en de�duire une factorisation de a2−4a+3=0 . 1/2 b) De�terminer une valeur du re�el a telle que la tangente a$ la courbe repre�sentative de la fonction f au point d’abscisse a passe par le point de coordonne�es (2; -2) Exercice 3 (5 points) On conside$re la fonction f de�

son ensemble de définition, c’est-à-dire ]0 ; +∞[ (par construction du chalet). Pour tout x∈]0 ; +∞[, f ’(x) = Où u(x) = v(x) = x Pour tout u’(x) = 4x + 16 v’(x) = 1 x ∈]0 ; +∞[, f ’(x) = = = = (NB : Si l’on ne voit pas la factorisation, il suffira d’étudier le signe du trinôme 2 x 2-32 grâce au théorème « Un trinôme est du signe de a sauf entre ses racines éventuelles ») X Signe de x – 4 Signe de x + 4 Signe de x 2 Signe de f ’(x) Pour 0 0 ∥ + + - 4 0

e) aucune des réponses ci-dessus 13) La représentation graphique de la fonction f : x 3 x2 – 4x + 1 est : a) une parabole b) une droite c) une hyperbole d) une courbe quelconque e) aucune des réponses ci-dessus 14) La factorisation de l’expression A = (2x – 3)2 - (x – 6)2 donne : a) (2x – 3) (x – 6) b) (2x + 3) (x + 6) c) (x – 1) (-2x + 4) d) (x – 9) (3x – 9) e) aucune des réponses ci-dessus 15) Un camion parcourt une distance moyenne de 135 kms en 2 heures

l’exercice 3 : on peut obtenir a en consid´rant la fonction associ´e f , et en regardant ` quoi est ´quivalent f en +∞. Ensuite, on a c grˆce ` la formule a e a a e e pr´c´dente. b peut ˆtre obtenu par ´valation en 0. . . e e Il se peut que la factorisation du d´nominateur soit p´nible. La technique pr´c´dente sera e e e e alors avantageusement remplac´e par le r´sultat suivant. e e Proposition 3 Supposons que F = simple. Alors le r´sidu en p vaut e P (p) (“formule des r´sidus”). e Q (p)

Pour démarrer la classe de terminale S Tout ce qu’il faut savoir de la 1re S Paul Milan 23 juin 2014 Table des matières 1 Second degré 1 Forme canonique . . . . . . . . . . 2 Racines du trinôme . . . . . . . . . 3 Factorisation, somme et produit des 4 Signe du trinôme . . . . . . . . . . 5 Variation et représentation . . . . . 2 Généralité sur les fonctions 1 Parité d’une fonction . . . . . 2 Variation d’une fonction . . . 3 Résolution graphique . . . . . 4 Fonctions

Or : Donc, par somme : x® 0 lim + 3 = 3 et x® 0 + x® 0 lim + 1 = +¥ x 1 ö æ lim ç 3 + ÷ = +¥ xø è 1 Conclusion : lim (3x + x ) = +¥ x® 0 + x · lim (x2 + x + 15) = ? (forme indéterminée du type "+¥ - ¥"). x ® -¥ Méthode : factorisation(1) par le terme de plus haut degré (pour les limites de fonctions polynômes en +¥ ou -¥ uniquement) : æ 1 15 ö x2 + x + 15 = x2 ç 1 + + 2 ÷ x x ø è æ 1 15 ö lim x2 = +¥ et lim ç 1 + + 2 ÷ = 1 x®-¥ x®-¥ è x x ø 1 15 ö æ lim x2 ç 1 + + 2 ÷ = +¥ x

+ 1) 78 P(x) = −4x2 + 28x − 49 59 P(x) = (2x + 3)(x − 5) + 3(2x − 1)(2x + 3) 79 P(x) = 60 P(x) = x(2x − 3) + (2x − 3) − (x − 3)(2x − 3) 61 P(x) = (4x − 1)2 − 2(2x + 5)(4x − 1) 62 P(x) = 2(x − 2)(x + 3) − (x − 2) 3 x2 x − +1 16 2 Factorisations plus difficiles Factoriser les polynomes suivants à l’aide d’un facteur commun ou d’une identité remarquable : Factoriser avec une identité remarquable Factoriser les polynomes suivants à l’aide d’une différence de deux carrés : 80 P(x) = x2

Or : x® 0 lim + x® 0 1 = +¥ x 1 ö æ lim ç 3 + ÷ = +¥ xø è 1 Conclusion : lim (3x + x ) = +¥ x® 0 + x · lim (x2 + x + 15) = ? (forme indéterminée du type "+¥ - ¥"). Donc, par somme : x® 0 + x ® -¥ Méthode : factorisation(1) par le terme de plus haut degré (pour les limites de fonctions polynômes en æ 1 15 ö x2 + x + 15 = x2 ç 1 + + 2 ÷ x x ø è +¥ ou -¥ uniquement) : Or : Donc, par produit : Conclusion : æ 1 15 ö lim x2 = +¥ et lim ç 1 + + 2 ÷ =

points images A, B, C, D et E des solutions de l’équation (I). 4 3 2 2/ On considère le polynôme Q(Z)  1  Z  1  Z  1  Z  1  Z  1 a- Vérifier que : Z  Q(Z)  1  1  Z b- Résoudre dans  l’équation Q(Z)  0 (II) c- En déduire une factorisation de Q(Z) en un produit de quatre binômes. 3/ Montrer que AB  AC  AD  AE  5 5 EXERCICE 4 (7 points ) On considère les suites U et V définies sur  par : U0  0 , V0  8 , Un 1  12  Vn et Vn 1  12  Un ; n   1/ Montrer que pour tout n