Cours Produit Scalaire

utilisant le produit scalaire ,vérifier que le vecteur AB est perpendiculaire au vecteur AC. - Trouver les coordonnées du point D, tels que les points A, B , C et D forment un rectangle. Exercice n°8 : On considère le triangle ABC de la figure ci-contre. On donne : AB = c ; AC = b ; BC =a a) Montrer en utilisant le produit scalaire que A b b2 = a2 + c2 – 2 a c cos β α que devient cette relation pour β = π /2 C b) Montrer que AC AB = BA BC = CB CA γ b) En calculant les modules de ces produits vectoriels

regroupent les e e e donn´es ´tudi´es en classes qui, dans certains cas, aident ` identifier les processus physiques. e e e a 2.1 Les m´thodes de d´composition e e Pour illustrer ces diff´rentes m´thodes, nous prendrons ici pour exemple un champ scalaire, e e suppos´ sans bruit, repr´sentant une composante du champ magn´tique terrestre mesur´e en e e e e un nombre fini de localisations g´ographiques r ` la surface de la Terre pendant un temps t. e a 2.1.1 La d´composition en modes propres e Consid´rant

d'éléments de A "nombre de cas favorables" = En cas d'équiprobabilité P(A) = nombre d'éléments de " "nombre de cas possibles" ! Proba de B sachant A : PA (B) = ! P(A " B) ; si A et B sont indépendants P(A " B) = P(A) # P(B) P(A) TRIGONOMETRIE - PRODUIT SCALAIRE ! Formules d'addition cos(a+b) = cos a cos b – sin a sin b sin(a+b) = sin a cos b + cos a sin b Formules de duplication cos(2a) = cos2 a – sin2a = 2cos2 a –1 = 1 – 2sin2 a Valeurs remarquables 0 sin cos tan 0 sin(2a) = 2sin a cos a cos(a-b)

matrice U ∈ O 3 ( ! ) et calculer cette matrice. II. Calcul de la distance de A à S n ( ! ) et à An ( ! ) 3. Soit A et B deux matrices de Mn ( ! ) , on pose (A B) = Tr (tA B) . Montrer que l’on définit ainsi un produit scalaire sur Mn ( ! ) . La norme associée à ce produit scalaire (norme de Schur) est notée : A = ( (A A) )2 . Dans tout le sujet, si Π est une partie non vide de Mn ( ! ) , la distance d’une matrice A de 1 Mn ( ! ) à la partie Π est le réel d ( A, Π ) = inf A − M . M ∈Π

barycentre du système de points pondérés {(O, 2), (A, -1), (C, 1)} est : Réponse b : le point I. Réponse c : le point J. −→ −→ −→ → − − − − −→ − − − → Par définition le barycentre G vérifie : 2GO − GA + GC = 0 ⇐⇒ 2OG = AC ⇐⇒ −→ − − → 3. Question 3 : Le produit scalaire AH · FC est égal à : Réponse a : 1. Réponse b : −1. −→ − − → −→ − − → Avec AH (−1 ; 1 ; 1) et FC (0 ; 0 ; −1), AH · FC = −1. 4. Question 4 : Les points B, C, I, H : Réponse a : sont non co-Réponse b : forment unRéponse c : forment un planaires

dans des lignes ou des colonnes? Comme vous pourriez deviner, ils sont le résultat d’une multiplication matricielle. Aller de C à B dans 2 livraisons est identique à prendre que le produit scalaire de la ligne 2 et colonne 3 de la matrice T. Aller de B à B dans 2 livraisons est identique à prendre que le produit scalaire de la ligne 2 et colonne 2 de la matrice T. Si vous multipliez T par elle-même, vous obtiendrez les mêmes réponses qui vous avez obtenu pour ces deux questions et le reste de la matrice

Cours 4 : fin du chapitre 1.5 September 05, 2013 1.5.2 Addition graphique de vecteurs 1 Cours 4 : fin du chapitre 1.5 September 05, 2013 Exemple 1.10  Additionnez graphiquement les quatre vecteurs  suivants: (4 m à 30°), (4,5 m à 50° N.O.), (1,5 m à ­120°) et (2,5  m à 70° S.E.) 2 Cours 4 : fin du chapitre 1.5 September 05, 2013 1.5.3 Propriétés des vecteurs Multiplication d'un vecteur par un scalaire • Vecteur  3 Cours 4 : fin du chapitre 1.5 September 05

curvilignes, ou repère de Frenet.......................................................... 65 5. CONCLUSION ..................................................................................................................... 69 ANNEXE: DIFFERENTIELLES DE SCALAIRES, VECTEURS.......................................................... 69 Position, vitesse et accélération OM(t+dt) dOM OM(t) V(t+dt) dV V(t) V= dOM dt Γ= dV dt V est colinéaire à dOM Γ est colinéaire à dV dOM = V dt forme différentielle

Soit λ0 e e la plus grande des parties r´elles des valeurs propres de df (0). e a) Montrer que pour tout λ > λ0 il existe un produit scalaire hermitien sur Cd , not´ , tel que e Re< df (0)x|x> λ . On pourra commencer par le cas df (0) diagonalisable (dans C), avant de traiter le cas o` df (0) est trigonalisable. u b) Montrer que pour tout λ > λ0 il existe un produit scalaire euclidien (toujours not´ ) et un r´el σ > 0 tel que e e λ pour tout x tel que x σ. c) En d´duire que 0 est stable. Montrer

b11 + a12 . b21 + a13 . b31 c21 = a21 . b11 + a22 . b21 + a23 . b31 On peut remarquer que les cij ont le même i (ligne) que les aij et le même j (colonne) que les bij. On peut donc écrire : D/ Multiplication d’une matrice par un scalaire Soit une matrice A et un scalaire λ alors B = λ A, bij = λ.aij. III.Décomposition d’une matrice carrée en 2 matrices, l’une symétrique et l’autre antisymétrique A/ Définition Une matrice A est dite symétrique si pour tout i et j, aij = aji. Une matrice B est