Cours Produit Scalaire

PRODUIT SCALAIRE ET PRODUIT VECTORIEL DANS L'ESPACE EUCLIDIEN Avant toutes choses, nous avons besoin dans ce chapitre d'orienter l'espace, c'est-à-dire distinguer les deux types de repères suivants : K K → Repère direct k → → k J → → Repère O I indirect O → j j → i i I J Soit un observateur se tenant debout, dans l'axe (O, k ), les pieds en O et regardant le point I. Un repère est dit "direct" si, l'observateur à le point J à sa gauche. Il est dit "indirect"

de http://www.ilemaths.net 3 Coordonn´ ees d’un vecteur AB Si AÔxA ; yA Õ et B ÔxB ; yB Õ alors on montre que AB ÔxB ¡ xA ; yB ¡ yA Õ. Coordonn´ ees de la somme de deux vecteurs Si uÔx; y Õ et v Ôx½ ; y ½ Õ alors u   v Ôx   x½ ; y   y ½ Õ Produit d’un vecteur par un nombre r´ eel λ Pour le vecteur u de coordonn´ees (a ;b) dans un rep`ere, le vecteur λu est le vecteur de coordonn´ees Ôλa; λbÕ dans le mˆeme rep`ere. Exemple : sur cet exemple, v ¡ 12 u avec uÔ2; 3Õ IV. Colin´earit´e de vecteurs

construire avec précision le triangle OCD. 4. Soit K le milieu de [AC].   Calculer les affixes des vecteurs OK et DB puis montrer que les droites (DB)et (OK) sont  perpendiculaires. (on pourra utiliser le produit scalaire u.v  xu xv  yu yv ) Exercice 2 : 4 points Une entreprise produit des objets qu’elle destine à la vente. Ces objets peuvent présenter deux types de défauts : • le défaut S de nature esthétique ; • le défaut F de fonctionnement. Un objet est déclaré parfait s’il ne présente

(2) cette propriété découle directement de la définition de λ ⃗ u et ⃗ v : Propriétés : Pour tous vecteurs ⃗ ⃗ ⃗ u = 0 ou ⃗ v = 0 alors ⃗ u .⃗ v =0 . (1) si ⃗ u .⃗ v =⃗ v .⃗ u . (2) ⃗ 2 2 u =∥ ⃗ u∥ . u par lui-même, appelé carré scalaire est noté ⃗ (3) le produit scalaire de ⃗ u 2 et ⃗ 2 2 1 1 1 2 2 2 (∥ ⃗ u +⃗ 0∥ −∥⃗ u ∥ −∥⃗ 0 ∥ ) = (∥ ⃗ u∥ −∥⃗ u ∥ )= ×0=0 . 2 2 2 0 .⃗ v = 0. de même, on démontre que ⃗ 1 1 2 2 2 2 2 2 u .⃗ v = (∥ ⃗ v .⃗ u (2) ⃗ u +⃗ v ∥ − ∥⃗ u ∥ −∥⃗ v ∥ ) = (∥ ⃗ v +⃗ u ∥ − ∥⃗ v ∥

1 Probl` me e [D’apr` s ENS option TA 1993] e ` NOTATIONS ET OBJECTIFS DU PROBLEME E est un espace vectoriel euclidien de dimension n ∈ N∗ . E × E → R, (x, y) → x, y est le produit scalaire sur E. x, y est la norme associ´ e au produit sca1aire. e E → R, x → x = L(E) est l’ alg` bre des endomorphismes de E, (O(E), ◦) est le groupe orthogonal de E, tA est la transpos´ e e e de la matrice A, F ⊥ est l’ orthogonal du sous espace vectoriel F de E, Imf et ker f d´ signent l’image et

AB + AC = AD 3. Propriété : Dans un repère, si u (x ; y) et v (x’ ; y’) alors u v x x '; y Pour tous vecteurs u et v : u v v u et u 0 0 u y' . u. D. Produit d’un vecteur par un réel Dans la suite, on se place dans un repère (O; i , j ), 1. Définition et notation : Soit u et k un réel. On appelle produit du vecteur u (x ; y) par le réel k, le vecteur noté k u ayant comme coordonnées (kx ; ky). Remarque : Ce vecteur est indépendant du repère choisi. 2. Cas particuliers ;

pour allouer le tableau Aprés utilisation Exemple d’utilisation d’un tableau Profil d’un tableau Taille d’un tableau Confirmation d’allocation Somme de tous les éléments Produit de tous les éléments Valeur maximale Position de la valeur maximale Valeur minimale Position de la valeur minimale Décompte Transposée Produit scalaire Produit matriciel tester une expression logique pour tous les éléments d’un tableau Généralisation des boucles conçue pour les tableaux Tableaux TYPE, DIMENSION(étendue 1,

Equiprojectivité du champ des moments     M A ⋅ AB = M B ⋅ AB ||AB|| Démo évidente ||AB|| Projections des moments sur la droite (AB) B MA MB A Animation mécamédia Le Torseur S2I Lycée Corneille T.CHIRLE ● Propriétés : invariant d'un torseur Le produit scalaire des éléments de réduction d'un même torseur ne dépend pas du point choisi pour le calculer. C'est un invariant du torseur.   R ⋅ M AA =   R ⋅ M AB Quelles que soient A et B Démo évidente S2I Lycée Corneille T.CHIRLE ● Le Torseur

(ℝ) I.A – Montrer que, pour tout polynôme ? ∈ ℂ[?], l’application ?? : ? ↦ ? (?) est une fonction continue de ℳ? (ℝ) dans ℳ? (ℂ). I.B – Montrer que l’application (?, ?) ↦ Tr( ?? × ?) est un produit scalaire sur l’espace ℳ? (ℝ). Dans toute la suite du problème, on note ‖ ⋅ ‖ la norme associée à ce produit scalaire. I.C – Pour tous entiers ?, ? entre 1 et ? et toute matrice ? ∈ ℳ? (ℝ), comparer |??,? | et ‖?‖. I.D – I.E – Montrer que : ∀(?, ?) ∈ ℳ? (ℝ)2 , ‖? × ?‖ ⩽ ‖?‖ ⋅ ‖?‖. Pour ? ∈ ℕ∗ et ? ∈ ℳ? (ℝ)

étudier dans les paragraphes ci-dessous une grandeur physique qui caractérise les effets d'une force: le travail. 2. Définition On appelle travail d'une force constante [pic], lors d'un déplacement rectiligne de son point d'application, le produit scalaire de la force [pic]par le déplacement [pic]. On le note WAB([pic]).   |[pic] | |  |  |  |  | |Avec