Théorème des suites adjacentes

f(x) = +∞. Si pour tout x ∈ I |f(x) - l| £ g(x) et si lim g(x) = 0 alors lim f(x) = l. Comparaison de limites Si pour tout x ∈ I f(x) £ g(x), si lim f(x) = l et lim g(x) = l' alors l £ l'. Théorème des gendarmes Si pour tout x ∈ I g(x) £ f(x) £ h(x) et si lim g(x) = lim h(x) = l , alors lim f(x) = l. Ce théorème est aussi valable pour une limite infinie. pas de résultat général 1/3 http://xmaths.free.fr/ TS - Fiche de cours : Limites - Asymptotes 2/3 Continuité - Dérivabilité Limite d'une composée

entier n, et pour tout x ∈ [0 ; 1] on a donc : xn e−x xn . 1 1 xn e−x dx D’où 0 0 1 Et 0 xn dx. 0 1 xn+1 xn dx = n+1 Donc pour tout entier n : 0 1 = 0 In 1 . n+1 1 . n+1 1 = 0. n+1 D’après le théorème dit « des gendarmes », on a : lim In = 0. Or lim n→+∞ n→+∞ 118 SUJET 2 SUJET NATIONAL, SEPTEMBRE 2010 Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par : f (x) = x(1 − ln x). La courbe représentative C de la fonction f

extrémité. Mathématiquement : Soit x Є E, x est un point extrême ↔ S’il Ǝ y Є E, z Є E et 0<λ<1 tels que x= λy + (1- λ)z alors x=y=z a x y b a,b Points extrêmes x n’est pas un point extrême y Point extrême Chapitre 1 Introduction à la PL Théorème: Pour un PL donné, si un optimum existe, au moins un point extrême est optimal. Corollaire: Si PL admet un optimum unique, alors cet optimum doit être un point extrême. IV.Cas particuliers de PL PL non borné Max Z = x1 + 2x2 s.c. 7x1+2x2 ≥ 28 x1

Partie 1 Première période 1 2 3 Fonctions usuelles Nombres complexes Équations différentielles 3 29 49 4 Géométrie 59 Partie 2 Analyse © Dunod La photocopie non autorisée est un délit 5 6 7 8 9 Nombres réels, Suites Fonctions continues Dérivation, développements limités Intégration Courbes paramétrées 85 119 139 189 221 Partie 3 Algèbre 10 Algèbre générale 11 Arithmétique 12 Algèbre linéaire 13 Algèbre linéaire en dimension finie 14 Matrices

........................................................... 9 C. Algèbre bilinéaire .......................................................... 16 Analyse ................................................................................... 18 A. Suites et séries .............................................................. 18 B. Fonctions........................................................................ 25 C. Equivalents et développements limités ....................... 26 D. Intégration

en utilisant le théorème de flux-divergence ou de Green-Ostrogradski, les intégrales de volume d'un terme de divergence se transforment en des intégrales de surface. Il devient donc plus aisé d’évaluer les termes de flux aux interfaces entre les volumes finis. On utilise de ce fait une fonction de flux numérique pour élaborer une approximation des flux aux interfaces en tenant compte de la règle de conservation des flux entrant et des flux sortant entre deux volumes finis adjacents, Un autre avantage

les équations différentielles non linéaires 68 1re année et 2e année Suites numériques 1re année 34 37 23 Séries numériques 2e année 70 Suites particulières 1re année V Table des matières Partie 2 – Analyse dans Rn 24 25 26 27 28 29 30 Espaces vectoriels normés 76 2e année 31 32 33 34 35 36 Intégrales curvilignes 2e année 98 102 104 107 112 Continuité 2e année 80 83 Suites de fonctions 2e année Ensembles particuliers 2e année Séries de

effet, Sn − Sn−1 = un ≥ 0 ; d’où la proposition : Proposition 1.3.1 Soit un une série à termes positifs. un converge ⇐⇒ (Sn )n est majorée Preuve. Il suffit d’appliquer la remarque (1.3.1) et de se rappeler que les suites croissantes et majorées sont convergentes. Théorème 1.3.1 (Règle de comparaison) Soit un vn deux séries à termes positifs. On suppose que 0 ≤ un ≤ vn pour tout n ∈ N. Alors : 1. vn converge =⇒ 2. un diverge =⇒ Preuve. un converge. vn diverge. n

71 76 82 85 85 87 98 104 107 109 109 Analyse 1 Étude de fonctions 1. Recherche de limites 2. Continuité 3. Calcul différentiel 4. Fonctions usuelles 5. Fonctions de deux variables 2 Suites et séries numériques 1. Généralités 2. Suites numériques calculables 3. Suites un+1 = f (un ) 4. Séries numériques 5. Suites définies implicitement 3 Calcul intégral 1. Primitives 2. Intégrale définie 3. Intégrales généralisées 4. Séries et intégrales Algèbre linéaire 4 Systèmes linéaires Calcul matriciel 1

chapitre 1 Les suites A Le programme Contenus Capacités attendues Commentaires Raisonnement par récurrence. • Savoir mener un raisonnement par récurrence. Ce type de raisonnement intervient tout au long de l’année et pas seulement dans le cadre de l’étude des suites. Limite finie ou infinie d’une suite.  Dans le cas d’une limite infinie, étant donnés une suite croissante (un) et un nombre réel A, déterminer à l’aide d’un algorithme un rang à partir duquel un est supérieur à A. Pour exprimer