Théorème des suites adjacentes

Montrons que ces suites sont adjacentes. La différence un − vn = 1 n est positive et converge vers 0. On a un+1 − un = Hn+1 − ln(n+ 1)−Hn + ln(n) = 1 n+ 1 + ln Å n n+ 1 ã = 1 n+ 1 + ln Ån+ 1− 1 n+ 1 ã = 1 n+ 1 + ln Å 1− 1 n+ 1 ã ≤ 1 n+ 1 − 1 n+ 1 car pour x > −1, ln(1 + x) ≤ x ≤ 0. On a, de plus, vn+1 − vn = un+1 − 1 n+ 1 − un + 1 n = 1 n+ 1 + ln Å 1− 1 n+ 1 ã − 1 n+ 1 + 1 n = 1 n − ln(n+ 1) + ln(n) = 1 n − ln Å 1 + 1 n ã ≥ 0 car pour x > −1, ln(1 + x) ≤ x Les deux suites (un)n≥1 et (vn)n≥1

IX- Suites numériques Quand on parle d’une suite, il s’agit d’une succession de nombres. Une suite représente en général l’évolution d’une quantité, par exemple une population, ou bien un capital, au fil du temps, année après année, ou seconde par seconde, … On remplace l’évolution continue par une succession de photos prises à intervalles réguliers. Définition Une suite, notée (un) avec n ∈N, est une succession infinie de nombres un indexés (numérotés) par un nombre n qui est un entier

Lebesgue, je défends dans ce texte qu'il est utile et possible de respecter les fondements de la rationalité mathématique lorsqu'on aborde par les aires le chapitre Intégrale. Dans ce travail qui a pour ambition la démonstration de quelques théorèmes d'analyse élémentaire, ce chapitre a sa place au Lycée en terminale scientifique. Sans aller jusqu'au développement complet de la théorie de Riemann, il me semble que par le calcul des aires on peut construire de façon cohérente une intégrale qui

5/2 3/2 = x1 x3 >0 ` ´ Algebre lineaire Algorithme du simplexe ´ ´ Resume ´ ` Theoremes fondamentaux ´ ` Theoreme ´ ´ ` La region realisable pour tout probleme de programmation ´ ` lineaire est un ensemble convexe. Si un PL possede une ˆ ´ ´ solution optimale, alors un point extreme de la region realisable ˆ doit etre optimal. ´ ` Theoreme ˆ ´ Pour tout LP, il existe un point extreme unique de la region ´ ` ´ realisable qui correspond a chaque

rayon OA (ou OB ou OC): . ce cercle, passant par les trois sommets du triangle ABC, est circonscrit à ce triangle.     Les bissectrices : (d) est la bissectrice de l'angle de sommet A ; (d) partage l'angle BâC en deux angles égaux et adjacents. BâO = OâC   Une bissectrice passe par un sommet du triangle et partage l'angle en deux angles de même mesure .   Les trois bissectrices d'un triangle sont concourantes: leur point de concours est le centre du cercle inscrit dans le triangle

sorte que deux sommets adjacents (variables utilisées dans le même temps à un programme) n’ont pas la même couleur. Il s’agit d’un problème NPcomplet. — La planification d’une conférence ou examens...(coloration de graphes). — Le parcours optimal de distribution : Le problème du postier chinois consiste à trouver un plus court chemin dans un graphe connexe non orienté qui passe exactement une fois par chaque arête du graphe et revient à son point de départ (Cycle eulérien, Théorème d’Euler : Un graphe

habituelle f (0) (x ) = f (x ) . Les nombres C nk sont ceux qui interviennent dans la formule du binôme de Newton. 6°/ Fonctions réciproques : Le théorème des fonctions inverses Si f : I → J est dérivable, bijective et si f ′ ( a ) ≠ 0 pour un élément a de I, la fonction réciproque g = f −1 est dérivable en f(a) et g ′ ( f ( a )) = 1 (Théorème des fonctions inverses). f ′(a ) Cela est assez clairement illustré par les représentations graphiques de f et de g qui sont symétriques par rapport à

[pic]. Donc f tend vers [pic] en [pic]. • En b : f est continue à droite et à gauche, donc f est continue en b. • Pour [pic], on fait la même chose que le premier point. 2) Sommes, produits… Théorème : - La somme de deux fonctions continues est continue. - Le produit d’une fonction continue par un réel est continu. - Le produit de deux fonctions continues est continu. - L’inverse, lorsqu’il est défini, d’une fonction

8 2.1.3.2. L’organisation d’un tournoi 8 2.1.3.3. Application géométrique 9 2.2. Chaînes et cycles eulériens 10 2.2.1. Exemple du trait de crayon unique 10 2.2.2. Notions de chaîne eulérienne et de cycle eulérien 10 2.2.3. Théorèmes d’Euler 12 2.2.4. Les sept ponts de Königsberg 14 2.2.5. Recherche d’une chaîne eulérienne à l’aide d’un algorithme 15 2.2.6. Modification du graphe afin d’obtenir un cycle eulérien 17 2.3. Matrice associée à un graphe 17 2.3.1. Exemple

Avertissement Ces notes ont été redigées pour servir de support au cours M11 “Analyse réelle I ”, enseigné aux étudiants de la première année de la licence STS, mention mathématiques. Il s’agit d’un résumé du cours. Ainsi, les démonstrations des théorèmes ne sont par reportées ici, mais elles sont développées pour la plupart pendant le cours. Il ne faut donc pas considérer ces notes comme un texte de référence et les étudiants sont fortement invités à consulter des livres d’analyse. Ces notes contiennent