Théorème des suites adjacentes

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit • Puisque ak désigne une limite, il est impératif de justifier la convergence de la série pour pouvoir utiliser et k=0 manipuler cette notation. Proposition 1 Soit (an ) et (bn ) deux suites numériques qui différent d’un nombre fini de termes, i.e. telles que an = bn sauf pour un nombre fini de valeurs. Alors les séries an et bn sont de même nature, c’est-à-dire que l’une est convergente si, et seulement si, l’autre l’est. En revanche,

Dérivation 1 - Définition. Domaines de définition. 2 - Rappel de quelques formules. 3 - Applications de la dérivation : sens de variation et tangentes. 4 - Dérivation des fonctions composées. 5 - Fonctions continues strictement monotones sur un intervalle. Théorème de dérivation des fonctions réciproques. B) Logarithmes et exponentielles 1 - Rappels sur le logarithme népérien : définition, propriétés algébriques et limites. Le nombre e. 2 - Fonction logarithme de base a : définition, propriétés algébriques, limites

dérivables Logarithmes et exponentielles Fonctions circulaires et réciproques Fonctions hyperboliques et réciproques Suites numériques Suites particulières Intégrales définies Calcul des primitives Formules de Taylor Intégrales généralisées Équations différentielles du premier ordre Équations différentielles linéaires du second ordre Systèmes différentiels Séries numériques Suites de fonctions Séries de fonctions Analyse en 30 fiches 6 12 16 22 26 32 36 42 46 50 56 62 68

. . . . . . . . . . 57 59 VIII Étude des suites réelles I II A B III A B C IV V VI A B VII A B IX I II A B C D E III A B A Index Différents modes de définition d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 Suites arithmétiques et géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 Rappels de première S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 TD : suites ariméthico-géométriques . . . . . . . . . .

décroissante v n+1 − v n = S 2n+3 − S 2n+1 = − 1 1 + > 0 donc : (2n + 3)! (2n + 1)! la suite (v n ) est strictement croissante . u n − v n = S 2n − S 2n+1 = 1 −→ 0. Les deux suites sont adjacentes, elles (2n + 1)! n→+∞ convergent donc vers une même limite 5 b) On a lim S 2n = et lim S 2n+1 = , d’après un théorème du cours, on peut affirmer que lim S n = . Pour tout entier n on a v n < < u n , en particulier, on a v 1 < < u 1 i.e. S 3 < < S 2 ce qui donne : 1 3 < < 1 2 c) On a toujours

Suites, Séries, Intégrales Cours et exercices Sylvie Guerre-Delabrière Professeur à l’Université Pierre et Marie Curie Table des matières 1 Quelques éléments de logique 1.1 Lettres grecques et symboles mathématiques . . . 1.2 Implications [A ⇒ B] et équivalences [A ⇐⇒ B] 1.3 Intersection et réunion . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Quantificateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Ordre des quantificateurs . . . . . . . . . . . . . 1.6 Négation . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

f(x) = +∞. Si pour tout x ∈ I |f(x) - l| £ g(x) et si lim g(x) = 0 alors lim f(x) = l. Comparaison de limites Si pour tout x ∈ I f(x) £ g(x), si lim f(x) = l et lim g(x) = l' alors l £ l'. Théorème des gendarmes Si pour tout x ∈ I g(x) £ f(x) £ h(x) et si lim g(x) = lim h(x) = l , alors lim f(x) = l. Ce théorème est aussi valable pour une limite infinie. Limite d'un inverse Si g ou (vn) a pour limite Alors 1 ou  1  a pour limite g vn l' ≠ 0 1 l' par valeurs inférieures 0 par valeurs

ensemble . . . . . . . 6.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5 Solutions des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . Suites réelles 7.1 Notions de base sur les suites . . . . 7.1.1 Langage des suites . . . . . 7.1.2 Sens de variation des suites . 7.1.3 Borne(s) d’une suite . . . . 7.1.4 Opérations sur les suites . . 7.2 Suites usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

FIRST_FREE(N(v), P3 = {1, 2, 3}) Propriété : SIX2THREE est une 3-coloration. Preuve : Tous les frères sont de la même couleur. Lorsque SHIFT_DOWN est appliqué, FIRST_FREE termine car le père de v et ses fils n'utilisent que 2 couleurs. Théorème 1 : Il existe un algorithme distribué (LOCAL) qui produit une 3-coloration pour tout arbre à n sommets en O(log*n) temps. La technique s'étend aux graphes de degré au plus Δ. On utilise une variante de l'algorithme 6-Color. • c(v) = bin(I) o c(v)[I]

.............................................................. 9 C. Algèbre bilinéaire .......................................................... 16 Analyse ................................................................................... 18 A. Suites et séries .............................................................. 18 B. Fonctions........................................................................ 25 C. Equivalents et développements limités ....................... 26 D. Intégration