SUJET 1
SUJET NATIONAL, JUIN 2011

Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, on désigne par fn la fonction définie sur R par : fn (x) = xn e−x .
On note Cn sa courbe représentative dans un repère orthogonal (O ; i, j) du plan.

Partie A
Sur le graphique ci-dessous, on a représenté une courbe Ck où k est un entier naturel non nul, sa tangente Tk au point d’abscisse 1 et la courbe C3 .
4
La droite Tk coupe l’axe des abscisses au point A de coordonnées
;0 .
5

1. a) Déterminer les limites de la fonction f1 en −∞ et en +∞.
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Sujet 1

b) Étudier les variations de la fonction f1 et dresser le tableau de variations de f1 .
c) À l’aide du graphique, justifier que k est un entier supérieur ou égal à 2.
2. a) Démontrer que pour n
1, toutes les courbes Cn passent par le point O et un autre point dont on donnera les coordonnées.

b) Vérifier que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, et pour tout réel x : fn (x) = xn−1 (n − x)e−x .

3. Sur le graphique, la fonction f3 semble admettre un maximum atteint pour x = 3.
Valider cette conjecture à l’aide d’une démonstration.
4. a) Démontrer que la droite Tk coupe l’axe des abscisses au point de coordonnées k−2 ;0 . k−1 b) En déduire, à l’aide des données de l’énoncé, la valeur de l’entier k.

Partie B
On désigne par (In ) la suite définie pour tout entier n supérieur ou égal à 1 par
1

xn e−x dx.

In =
0

1. Calculer I1 .
2. Dans cette question, toute trace de recherche ou d’initiative, même incomplète, sera prise en compte dans l’évaluation.
Sur le graphique ci-dessous, on a représenté les portions des courbes C1 , C2 , C3 , C10 ,
C20 et C30 comprises dans la bande définie par 0 x 1.

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Analyse

a) Formuler une conjecture sur le sens de variation de la suite (In ) en décrivant sa démarche. b) Démontrer cette conjecture.
c) En déduire que la suite (In ) est convergente.
d) Déterminer lim In . n→+∞ CORRIGÉ

Partie A
1. Pour tout réel x, on a f1