Théorème des suites adjacentes

Im(S) = sin(2π/7) + sin(4π/7) + sin(8π/7) = sin(2π/7) + sin(π − (3π/7)) + sin(π + π/7) = sin(2π/7) + sin(3π/7) − sin(π/7). Les trois angles de cette dernière expression sont tous compris dans [0, π/2], donc 0 < sin(π/7) < sin(2π/7) < sin(3π/7). Il en suit que Im(S) > sin(2π/7) > 0. (d) Déterminer l’expression algébrique de S.(on pourra remarquer que S et S¯ sont solutions de l’équation: z 2 + z + 2 = 0). ¯ = z 2 + z + 2, donc S est solution de Solution. D’après la partie (c), (z − S)(z − S) l’équation

définitions de la théorie des graphes. Puis, nous mentionnons les différents domaines d’application des arbres couvrants, et par la suite nous présentons les différentes méthodes de l’énumération des arbres couvrants dans un graphe planaire, notamment le théorème de Kirchhoff, et la méthode des valeurs propres. Ces deux méthodes algébriques sont trés utiles en termes de calcul du nombre d’arbre couvrant des graphes simples, par contre, si on considére des graphes larges, l’utilisation de ces deux méthodes

bxa + bxb = a² + 2ab + b² (a-b)²= (a-b)(a-b) =axa + ax(-b) + (-b)xa + (-b)x(-b) = a² - 2ab + b² (a+b)(a-b) = axa + bxa + (-b)xa + bx(-b) = a²+ab-ab+b² = a² - b² Exemples : x² + 4x + 4 = (x+2)² x²-1 = x² - 1² = (x+1)(x-1) 16x² - 8x + 1 = (4x-1)² Théorème : Un produit de facteurs est nul (donc égal à 0) si au moins l’un des facteurs est nul… Cela veut dire que face à une résolution du type (ax + b)(cx + d) = 0, il faut résoudre deux équations séparément : ax + b = 0 puis cx + d = 0. On obtient deux

. . . . . . . . . . . . . 9 10 10 11 13 15 17 17 18 19 22 26 26 26 28 30 31 31 32 33 35 38 38 38 40 42 44 44 45 46 47 49 1 Limites 1.1 Généralités . 1.2 Opérations . 1.3 Comparaison 1.4 Exercices . . 2 Suites numériques 2.1 Récurrence . . . . . . . . . 2.2 Propriétés des suites réelles 2.3 Existence de limite . . . . . 2.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

notation scientifique. Il est conseillé d’utiliser la calculatrice (en particulier la touche : a×10n ) dès que possible notamment pour les QCM. Exemple. 879000×103 = 8,79×105×103 = 8,79×108. Avec la calculatrice, on obtient immédiatement le résultat. 4 Théorème de PYTHAGORE Définition 4.1 La racine carrée d’un nombre positif a est le nombre positif dont le carré est égal à a. On le note √ a . Le symbole √ s’appelle un radical. Exemples. 2×2 = 22 = 4. Donc √ 4 = 2. 3×3 = 32 = 9. Donc √ 9 = 3. √ 25, la racine

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 11 11 12 14 16 19 19 20 22 24 29 29 30 31 33 34 34 35 37 38 42 42 43 44 46 1 Limites 1.1 Généralités . 1.2 Opérations . 1.3 Comparaison 1.4 Exercices . . 2 Suites numériques 2.1 Récurrence . . . . . . . . . 2.2 Propriétés des suites réelles 2.3 Existence de limite . . . . . 2.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exo7 Suites Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exercice 1 ***IT Soient (un )n∈N une suite réelle et (vn )n∈N la suite définie par : ∀n ∈ N, vn = u0 +u1 +...+un . n+1 1. Montrer que si la suite (un )n∈N vers un réel , la suite (vn )n∈N converge et a pour limite . Réciproque ? 2. Montrer que si la suite (un

quel que soit n de IN*, un ≥ 21 8 un +1 − vn +1 ≤ b. Utiliser le résultat précédent pour démontrer que 1 2 ( un − vn ) 10 1 c. En déduire, à l'aide d'un raisonnement par récurrence que un − vn ≤ n 102 −1 Conclure que les suites (un) et (vn) sont adjacentes et déterminer leur limite commune. Justifier que u3 est une approximation de d. Déterminer la limite de un – vn à l'infini. 6. 7. 7 à 10-7 près. Remarque : Cette méthode est celle utilisée par le mathématicien grec Héron (1er

SUITES PLAN I : Corps des réels 1) Propriétés 2) Borne supérieure et inférieure a) Définition b) Droite achevée c) Partie entière 3) Intervalles 4) Suites II : Limite d'une suite 1) Préambule 2) Un exemple historique 3) Définitions 4) Opérations sur les limites 5) Inégalités et limites 6) Suites monotones 7) Suites adjacentes 8) Théorème de Bolzano–Weierstrass III : Suites particulières 1) Suites arithmétiques 2) Suites géométriques 3) Suites arithmético–géométriques 4) Suites récurrentes linéaires

l’usager de vérifier les informations données par comparaison à la littérature existante. SPIN : 11747024 Couverture : Jean-François Montmarché Préface Paul Erd˝ s aimait parler du Grand Livre, dans lequel Dieu inscrit les preuves o parfaites des théorèmes mathématiques, suivant ainsi la remarque de Hardy : il n’y a pas de lieu permanent pour les mathématiques laides. Erd˝ s disait o aussi que l’on n’a pas besoin de croire en Dieu, mais qu’en tant que mathématicien, on doit croire au Grand Livre. Il