Théorème des suites adjacentes

général sur les suites : monotonie , opérations , suites bornées (sur polycopié+exercices ) ; définition d’une suite convergente dans K ( K = R ou K = C ) , unicité de la limite ; toute suite convergente est bornées , toute suite convergente vers un réel non nul est du signe de sa limite APCR ; suite extraite : définition , sous-suite d’une suite convergente et théorème fondamental ”la suite U = u n n converge vers L SSSI toutes les sous-suites convergent vers L SSSI les deux sous-suites (u 2n ) et (u

Suites numériques Nous avions déjà étudier la notion de suites numériques l’année dernière. Je vais vous rappeler toutes les notions que l’on avait vu, et en rajouter. I - Définition suite numérique Qu’es-ce qu’une suite numérique ? Commençons par cela. Définition : Soient a ∈ N et Ia = {n ∈ N, n a}, Ia est en fait l’ensemble des entiers naturels à partir de a. On appelle suite numérique la fonction u de Ia dans R telle que : Ia n Notation : On notera u(0) u0 , u(1) u1 , etc. un s’appelle terme

DM 2 SUR LES SUITES ADJACENTES, VERS LE NOMBRE e TS 1. Factorielle d'un entier naturel. Soit n ∈ . On appelle factorielle de n l'entier noté n! défini par : n! = 1 × 2 × 3 × ... × n si n Par exemple, 3! = 1 × 2 × 3 = 6. Le but de cette première partie est de se familiariser avec les factorielles. (Les quatre questions sont indépendantes) a. Calculer 4!, 5! et 6!. Démontrer que 6! × 7! = 10! (sans calculer 10! et sans utiliser de calculatrice) b. Simplifier 1 et 0! = 1 (n + 1)! . n! *

COMPLEXES 1) COMPLEMENTS SUR LES SUITES DE REELS. A) Introduction. Une suite infinie à valeurs réelles n’est après tout qu’une fonction à valeurs dans R dont l’ensemble de définition est N ou plus généralement une partie du type N[n0 , +[ . A ce titre, tous les résultats concernant les fonctions de variable et d’image réelles pourront être utilisés, notamment ceux relatifs à l’étude des limites en +. Rappelons en particulier deux résultats essentiels. _ Le théorème de limite monotone, assurant

Fonctions Parité Paire Impaire Symétrie (Oy) O * Théorème des valeurs intermédiaires: Soit une fonction f définie et continue sur I et deux réels a, b de I. Pour tout k Є *f(a);f(b)+, il existe un réel c compris entre a et b, tel que f(c) = k. * Corollaire du théorème des valeurs intermédiaires: Si une fonction f est continue et strictement monotone sur *a;b+, alors pour tout réel k Є *f(a);f(b)+, f(x) = k admet une unique solution dans [a;b]. Positions relatives de deux courbes: Cf strictement

Suites et séries numériques de PCSI I - Généralités sur les suites numériques On appellera suite réelle tout élément de RN . 1) Convergence — Unicité de la limite Étant donné un réel ℓ, on dit que la suite réelle (un ) admet ℓ pour limite si et seulement si ∀ε > 0 ∃n0 ∈ N ∀n ∈ N n ≥ n0 ⇒ |un − ℓ| ≤ ε. Lorsqu’un tel nombre ℓ existe, on dit que la suite (un ) est convergente, ou encore qu’elle admet une limite finie. Le nombre ℓ est alors unique, appelé la limite de la suite (un ), noté lim un . n→∞

SUITES : GENERALITE Une suite (Un) est majorée si il existe un reel M tel que : quelque soit n E N, Un < M Une suite (Un) est minorée si il existe un reel m tel que : quelque soit n E N, Un >m Une suite est borné , si elle est a la fois majorée et minorée La suite Un est croissante ( resp strictement croissante )lorsque pour tout entier n , on a : Un < Un+1 ( resp Un < Un+1) La suite Un est décroissante ( resp strictement décroissante ) lorsque pour tout entier n, on a Un > Un+1 (resp

degré d’un graphe Définition 5. On dit que deux sommets sont voisins ou adjacents s’ils sont reliés par une arête. Exemple 3. Voici les exemples suivants :(voir la Figure 1.3) — Les sommets v1 et v2, du graphe G1 sont adjacents. — Les sommets v2 et v4, du graphe G1 ne sont pas adjacents. — Les sommets v4 et v5, du graphe G2 sont adjacents. Définition 6. Le voisinage d’un sommet, noté ν, est l’ensemble de tous ses sommets adjacents. Sa taille est |ν|. Exemple 4. Voici les exemples suivants : — Le voisinage

Chapitre 22 L ES ´ SUITES R EELLES OU COMPLEXES e chapitre consacré à l’étude des suites sera l’un des plus longs et fondamentaux de cette partie du programme d’analyse, ce qui reflète l’importance de la notion, tant du point de vue théorique que pratique. L’idée de suite est présente très tôt dans l’histoire des mathématiques, dès l’Antiquité. Mais il faut attendre la fin du xixe siècle pour voir émerger la définition actuelle, proposée par G. Peano, d’une suite comme fonction définie sur l’ensemble

2PROBLEME DE RECONNAISSANCE Un problème de reconnaissance est un problème dont les résultats ne peuvent prendre que l’une des deux valeurs : vrai ou faux. Un problème de reconnaissance est dit dans la classe NP (non déterministe polynomial) si on peut vérifier la réponse donnée en un temps polynomial. Un problème de reconnaissance est dit NP-complet si tout problème de la classe NP peut se réduire polynomialement à lui. La classe des problèmes de reconnaissance NP peut donc se partitionner