Théorème des suites adjacentes

. . , em } dont les éléments sont appelés arêtes (Edges en anglais). Une arête e de l’ensemble E est définie par une paire non ordonnée de sommets, appelés les extrémités de e. Si l’arête e relie les sommets a et b, on dira que ces sommets sont adjacents, ou incidents avec e, ou bien que l’arête e est incidente avec les sommets a et b. On appelle ordre d’un graphe le nombre de sommets n de ce graphe. 1.1.1 Représentation graphique Les graphes tirent leur nom du fait qu’on peut les représenter

graduée dont l’unité à pour mesure 2 cm : A1 A1 B2 A0 On en déduit que la suite (bn ) est décroissante. Graphiquement, les deux suites resterons chacune d’un côté de la droite graduée ( ? ?). 4. On a les propriétés suivantes : La suite (an ) est croissante ; La suite (bn ) est décroissante ; Pour tout entier naturel n, on a : an bn Pour que ces deux suites soient adjacentes, il suffit de montrer que : lim bn − vn = 0 n→+∞ 0 2 4 Or, d’après la question 2. , le terme de rang n de la suite

barycentre des points A, B et C affectés des coefficients respectifs a, b et c. 5 6 TOUTES LES R.O.C. DU BAC S Exercice no 7 Restitution organisée de connaissances [Spécialité] (Amérique du Nord 27 mai 2011) Démontrer le théorème de Gauss en utilisant le théorème de Bézout. Exercice no 8 Restitution organisée de connaissances (Liban 31 mai 2011) Prérequis : On suppose connu le résultat suivant : Quels que soient les nombres complexes non nuls z et z ′ , arg (z × z ′ ) = arg(z) + arg (z ′

certain rang. - Toute suite convergente est bornée. - Théorème des gendarmes : Soit 3 suites un, vn et wn vérifiant : un < vn < wn à partir d’un certain rang un et wn convergents vers L et ont la même limite Alors vn est convergente et à pour limite L. - Toute suite croissante et majorée converge. - Toute suite décroissante et minorée converge. - Si une suite est croissante et majorée par M alors L < M - On dit que deux suites sont adjacentes ssi un est croissante et vn décroissante un < vn

1014 Rabat, Maroc Filière DEUG : Sciences Mathématiques et Informatique (SMI) et Sciences Mathématiques (SM) Module Mathématiques I Analyse I Chapitre I : SUITES NUMERIQUES Par Saïd EL HAJJI Groupe d’Analyse Numérique et Optimisation Email : elhajji@fsr.ac.ma et Samir HAKAM Email : s-hakam@fsr.ac.ma Année 2003-2004 1 Chapitre I : SUITES NUMERIQUES1 Objectif du chapitre : 1) Donner la définition d’une suite et utiliser les notations adéquates 2) "Déterminer" le terme général d’une suite 3)

(−1)m &lt; ε− 1, par caractérisation de la borne inférieure, i = −1. Exercice 3 1 Pour les suites (un)≥1 suivantes, déterminer lim un et lim un : a un = (−n)−n, (0,75 pt) b un = ( 1 + sin ( nπ 2 )) 1 n . (0,75 pt) 2 étudier la nature de la suite (un) dans les cas suivants : a un = 1√ n E( √ n), (0,75 pt) b un = an − (−a)n où a ∈ R. (0,75 pt) Correction 1 Calculons les limites sup et les limites inf des suites suivantes : a un = (−n)−n = (−1)−n×n−n = (−1)n× 1 nn . La suite de terme général (−1)n est

circuit électronique réalisant cette opération est schématisé comme suit. I.1.2. Le "et" logique (AND). L'opération est représentée par un signe multiplié ( x ou . ) ce qui se note x = A . B. Cette opération est représentée par la table de vérité suivante. A B x 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 Le circuit électronique réalisant cette opération est schématisé comme suit. I.1.3. L'inverseur logique. Cette opération est notée comme suit : x = A. La sortie est le complément de l'entrée. La table de vérité

Q et de R\Q dans R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Suites réelles 11 2.1 Définition, premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2 Suites convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.3 Suites extraites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.4 Suites monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Corrigé Métropole S A. P. M. E. P.  −x  u(x) = −e −x et 4. • (x + 2)e dx est de la forme . u (x)v(x) dx, où u et v sont les fonctions définies sur R par  0 0 v(x) = x + 2 Les théorèmes généraux permettent d’affirmer que les fonctions u et v sont dérivables sur R et que leurs dérivées sont continues sur R : le théorème d’intégration par parties peut alors être appliqué : 2 2 2 0 (x + 2)e−x dx 2 = = = 0 u (x) × v(x) dx [−(x + 2)e−x ]2 − 0 2 = −e−x dx 2 0 [u(x) × v(x)]2

Exo7 Suites 1 Convergence Exercice 1 Montrer que toute suite convergente est bornée. Indication Correction Vidéo [000506] Exercice 2 Montrer qu’une suite d’entiers qui converge est constante à partir d’un certain rang. Indication Correction Vidéo [000519] Exercice 3 Montrer que la suite (un )n∈N définie par un = (−1)n + n’est pas convergente. Indication Correction Vidéo [000507] 1 n Exercice 4 Soit (un )n∈N une suite de R. Que pensez-vous des propositions suivantes : • Si (un