Théorème de Pythagore

positif. x2 + y 2 qui est bien un réel Proposition 3.2.1. Soit P le plan euclidien muni du repère orthonormé (O, i, j) et soit M ∈ P −→ − de coordonnées (x, y) ou encore d’affixe z = x + iy. Alors |z| = OM (c’est le théorème de Pythagore). Démonstration. On applique le théorème de Pythagore au triangle (OAM ) ci-dessous M : z = x + iy y O x A qui nous donne immédiatement le résultat. Corollaire 2. L’ensemble des points M d’affixe z tels que |z − a| = ρ (ρ ≥ 0) est le cercle de centre A d’affixe

notion de démonstration (en décidant par exemple de ce qu’est une implication, une équivalence...) ; ⋄ on décide enfin de qualifier de vraie toute affirmation obtenue en fin de démonstration et on appelle « théorème » une telle affirmation (vraie). A partir des axiomes, on obtient donc des théorèmes qui viennent petit à petit enrichir la théorie mathématique. En raison des bases (les axiomes) non démontrées, la notion de « vérité » des mathématiques est sujette à débat. 2 Vocabulaire usuel

3) sin(−x) = − sin x et cos(−x) = cos x Remarque : (sinx)2, par exemple, se note sin2x. Démonstrations : 1) Le cercle trigonométrique est de rayon 1 donc : −1 ≤ sin x ≤ 1 et −1 ≤ cos x ≤ 1 . 2) Dans le triangle OHM rectangle en H, le théorème de Pythagore permet d’établir que : cos2 x + sin2 x = OM2 = 1. 3) Les angles de mesures x et –x sont symétriques par rapport à l’axe des abscisses donc : sin(−x) = − sin x et cos(−x) = cos x . 5) Exemple d’application : Soit x un nombre réel. Calculer

la notion de démonstration (en décidant par exemple de ce qu’est une implication, une équivalence...) ; ⋄ on décide enfin de qualifier de vraie toute affirmation obtenue en fin de démonstration et on appelle « théorème » une telle affirmation (vraie). A partir des axiomes, on obtient donc des théorèmes qui viennent petit à petit enrichir la théorie mathématique. En raison des bases (les axiomes) non démontrées, la notion de « vérité » des mathématiques est sujette à débat. 2 Vocabulaire usuel ⋄

propriété de Pythagore dans le triangle OKB’ rectangle en O, donc OU = - = et OI = . L’angle (,) a un cosinus égal à , c’est bien un angle de . La corde [AB] est donc le premier côté du pentagone régulier convexe ABCDE. [EB] est un côté du pentagone étoilé EBDAC inscrit dans le même cercle. Pentagramme mystique Dans la figure de droite, les points A', C', E', B', D', nommés dans cet ordre sont les sommets d'un polygone régulier étoilé appelé pentagramme. Ce pentagramme de Pythagore était le sceau

B + 2zB − 4 |4 × (−3) + 3 + 2 × (−4) − 4| 21 = 21. = = 21 42 + 12 + 22 42 + 12 + 22 d. La droite D est perpendiculaire à P , donc orthogonale à toute droite de P . On a donc un triangle rectangle de côtés dB et d et d’hypoténuse [AB]. 2 Le théorème de Pythagore permet d’écrire d 2 = AB2 − dB . 2 2 2 2 AB = (−2) + 1 + (−7) = 54. Donc d 2 = 54 − 21 = 33. Finalement d = 33. Nouvelle-Calédonie 4 mars 2008 

|[pic] |0 |[pic] |0 | |Cotan( |[pic] |0 |[pic] |0 |[pic] | 11) Formule fondamentale et formules dérivées Par le théorème de Pythagore, on peut montrer que sin² α + cos² α = 1 donc : [pic] 12) Nombres goniométriques de 30° 13) Nombres goniométriques de 60° 14) Nombres goniométriques de 45° 15) Nombres goniométriques des angles associés -----------------------

 de  mon  esprit.   Descartes  prend  ici  l’exemple  du  triangle  :  cette  figure  géométrique  m’est   connue,  ainsi  que  ses  propriétés  (droite  des  milieux,  théorème  de  Pythagore).  Pourtant,   un  triangle  n’est  vrai  dans  aucun  lieu  du  monde.  J’ignore  donc  comment  cette  figure  s’est   retrouvée  avec  tant  de  précision  dans  ma

ϕ i1/i2 = -π/3-(-5π/6) = +π/2 = +90° : i1 est en quadrature avance sur i2 ϕ i2/i3 = -5π/6-(-0,584) = -2,034 rad = -116° ϕ i1/i3 = ϕ i1/i2 + ϕ i2/i3 = -0,463 rad = -26° Exercice 3 + 1) U = U C + U R UR O ϕ u/i I UC U U I Théorème de Pythagore : U² = UR² + UC² I Avec : UR = RI et U C = Cω U² D’où : Z eq ² = = R ² + ( C1ω )² I² Finalement : Z eq = R ² + ( C1ω )² Par définition : Z eq = tan ϕ = − UC 1 =− UR RCω  1  soit : ϕ = − arctan    RCω  Le déphasage ϕ est compris entre

−1) ) = 37 donc BC = 37 AC 2 = ( xC − x A ) + ( yC − y A ) = ( 0 − 5 ) + ( −2 − 5 ) = 74 donc AC = 74 2 2 2 2 2 2 2 2 Comme AB = BC = 37 le triangle ABC est isocèle en B 2 2 2 Comme AC = AB + BC = 74 d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B. 3. Calculer les coordonnées du point E milieu du segment [AC].  5 + 0 5 + ( −2 )  y + yC  x +x 5 3 donc E  ;  E A C ; A   donc E  2 ; 2  2  2 2  2  4. Calculer les coordonnées du point