Théorème de Pythagore

opérative, les Egyptiens se servaient d’une corde à treize nœuds pour arpenter. La distance entre les nœuds étant identique, la corde à nœuds permettait de mesurer douze unités, mais aussi de tracer des triangles rectangles sur la base du théorème de Pythagore (3-4-5). Cette corde fournissait également des rapports de proportion et pouvait servir de compas, de niveau, de fil à plomb et même d’échafaudage ou de système de levage. C’était donc un objet très important et de grande valeur, à tel point

sont exprimées en centimètres. 1. On pose AM = x. a. Faire une figure. b. Déterminer l’intervalle des valeurs possibles pour x. c. Déterminer en fonction de x la distance BM . d. Déterminer en fonction de x la distance BN . (On rappelle le théorème de Pythagore : dans un triangle ABC rectangle en A, on a BC 2 = AB 2 + AC 2 ) 2. On considère la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; 10] √ par f (x) = 2x2 − 20x + 100 La fonction dérivée f ′ de f est définie sur l’intervalle 2x − 10 . [0 ; 10] par f

non nuls tels que le triangle ABC ait les caractéristiques ci-dessous : AH = x, AB = x + 1, BC = x + 2 et AC = x + 3 x+1 A x+3 x H x+2 C B DEVOIR-MAISON N°3 : CORRIGÉ Partie A Notons h = AH, b = BH et c = CH. D'après le théorème de Pythagore : 132 = b2 + h2 et 152 = c2 + h2 Les données du problème se traduisent donc par le système suivant : 132 = b 2 + h 2 15 = c + h 2 2 2 ( E1 ) ( E2 ) ( E3 ) c + b = 14 En effectuant (E2) − (E1), on obtient : c2 − b2 = 152 − 132 = 56

(c1) aux points B et E qui sont deux sommets du pentagone. Le cercle de centre B passant par A recoupe (c1) en C. Le symétrique D de C par rapport à (AA’) termine la construction du pentagone. En effet KB’ = KU’ = [pic] d’après la propriété de Pythagore dans le triangle OKB’ rectangle en O, donc OU = [pic] - [pic]=[pic] et OI = [pic]. L’angle ([pic],[pic]) a un cosinus égal à [pic], c’est bien un angle de [pic]. La corde [AB] est donc le premier côté du pentagone régulier convexe ABCDE. [EB] est

donc est le milieu de et 1; 1; √2 √2 2 1 √2 On voit que donc De plus 16 et rectangle en . Exercice 7 3 2 et 2 3 6 3 2 2 1 2 √2 1 √2 1 √2 √2 √2 est isocèle en . 8 8 16 donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore, √2 √4 2 4 2√2 1 8 2√2 √16 1 2 2 4 2√2 1 1 2 2 √8 2 2√2 √8 2√2 2√2 est donc 2 √9 et 4 4 est bien un parallélogramme. √17 3 2 0 √9 4 √13. n’a pas deux côtés consécutifs de même longueur

12 + (−3)2 11 1 4. Réponse B : La distance de S au plan est inférieure à 3 donc l’intersection de la sphère et du plan P est un cercle de centre H. Le triangle SHM, M étant un point du cercle est rectangle en H. 2 3 + r2 ⇐⇒ r2 = D’après le théorème de Pythagore on a : 32 = √ 11 9 90 10 9− = ⇒r=3 . 11 11 11 E XERCICE 4 Commun à tous les candidats 200 1. Réponse D : Pour que S appartienne à D, il faut que les coordonnées de S vérifient les équations paramétriques de D. Or ces coordonnées de S ne

Formules trigonométriques: Sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b. Sin (a – b) = sin a cos b – cos a sin b. Cos (a + b) = cos a cos b – sin a sin b. Cos (a – b) = cos a cos b + sin a sin b. Sin 2a = 2 sin a cos a. Cos 2a = cos2 a – sin2 a. Théorème de Pythagore : A B OA2 = AB2 + OB2 ⇒ 12 = sin2 α + cos2 α ⇒ cos2 α + cos2 α = 1 ⇒ cos 2 α + sin 2 α 1 = . 2 cos α cos 2 α 1 ⇒ 1 + tg2 α = cos 2 α α O © www.e-tahero.net – Z.M.F tg 2α = sin 2α 2 sin α . cos α = . cos 2α cos 2 α − sin 2

= 30◦ . Alors on peut calculer la longueur du côté [AC ] en utilisant la formule de la tangente : tan α = AB AC d’où AB 12 = ≃ 20.8 cm tan α tan 30◦ De même on peut calculer la longueur du côté [BC ], soit en utilisant le théoréme de Pythagore, soit en utilisant la formule du sinus : AB sin α = BC d’où AB 12 BC = = = 24 cm sin α sin 30◦ AC = 2.2 ...Pour calculer des mesures d’angles Lorsque, dans un triangle rectangle, on connaît la longueur de deux des côtés, on

orthogonaux, le projeté orthogonal de H sur (P’) est cofondu avec le projeté orthogonal de H’ sur (P). Le quadrilatère AHDH’ est donc un rectangle. Soit δ la distance entre A et (d). δ est la longueur de la diagonale de ce rectangle. On applique le théorème de Pythagore : δ2 = 2 2 2 2 2 4 + = + = 2. D’où δ = 2. 3 3 6 3 E XERCICE 2 3 points 1. Restitution organisée de connaissances Soient u et v deux fonctions dérivables sur [a ; b] et dont les dérivées sont continues. Alors uv est dérivable et (uv)′ = u

'=k⋅larg=4⋅2 P ' =k⋅P=4⋅16 ou P '=2⋅ 248  9) Dans un triangle rectangle, la hauteur issue du sommet de l'angle droit détermine sur l'hypoténuse des segments de longueurs respectivements égales à 7 cm et 28 cm. Calcule, sans utiliser le théorème de Pythagore, le périmètre et l'aire de ce triangle. Il faut connaître la longueur des côtés et la hauteur du triangle. ABC rectangle en B alors : ∣AB∣2 =∣AH∣ ∣AC∣;∣BC∣2=∣CH ∣∣AC∣ ⋅ ⋅ 2 ∣BH ∣ =∣AH∣ ∣HC∣ ⋅ ⇒ |BH|² = 7 x 28 = 196 ⇒ |ΒΗ| = 14 |AC| = |AH|+