Théorème de Pythagore

cas, ABC est rectangle en C. Donc AH vaut, au maximum, 3. Or l’aire d’un triangle est égale à : Donc, dans le triangle ABC, l’aire vaut : L’aire maximale est donc :=1,5. Dans ce cas, ABC étant rectangle en A, on a, en utilisant le théorème de Pythagore : =+. Donc :=10 Donc :x=ó3,162277… Exercice 2 1.Lorsque M décrit le segment [AB], x décrit l’intervalle . La distance OM est maximale lorsque M=A (lorsque x=0). Elle vaut alors OA=2. Cette distance diminue jusqu’à un minimum lorsque

A et D, le triangle ABC est rectangle en A. Figure 1 : Dans le triangle ABC, le plus grand côté est [BC]. On a alors : BC² = 50² = 2 500 AB² + AC² = 30² + 40² = 900 + 1 600 = 2 500 On remarque alors que : BC² = AB² + AC² La réciproque du théorème de Pythagore permet (une autre piste consiste à utiliser les deux alors d'affirmer que le triangle ABC est rectangle droites parallèles (CA) et (DE) coupées par la sécante (AD) : les deux angles  CAD et en A.  sont alors alternes internes et donc de ADE

2. Notons I le pied de la médiane issue de A JJJG JJJG  2π a) FAUX OA ⋅ OB = OA × OB = cos   3   . Puisque le triangle est équilatéral, la médiane [AI] est aussi hauteur, donc  AB 2 − BI 2 = 22 − 12 = 3 , et ainsi OA = d’après le théorème de Pythagore, AI = 2 2 3 AI = 3 3 JJJG JJJG 2 3 2 3  1  2 On conclut donc que OA ⋅ OB = × ×−  = − 3 3  2 3 JJJG JJJG b) FAUX CA ⋅ OB = 0 car O étant le centre de gravité du triangle équilatéral, il est aussi centre du cercle circonscrit au triangle

pile ou face avec une pièce non truquée. « Pile » est représenté par le nombre 0 et « Face » par le nombre 1. Exercices : 18, 19, 20, 21 page 15 10 – 16, 17 page 15 11 [TransMath] 8. 9. 10. 11. Mettre en évidence des conditions. Théorème de Pythagore Instructions conditionnelles. Cas où il y a plus de deux choix possibles. 3 Algorithme 2 Triangle rectangle en C Variables : AB, AC, AB, x, y : nombres réels Entrée : Afficher « Entrer la valeur de AB » Saisir AB Afficher « Entrer

et on recommence avec t. Il ne reste plus qu'à lire la longueur r recherchée: t = 4,9 , soit une force d'intensité 490 N pour F BC. On peut vérifier dans le menu Principale qu'on a bien des résultats précis: triangle rectangle isocèle, théorème de Pythagore… On pourra résoudre de la sorte tout exercice de statique à 3 forces en modifiant les données quand la figure est complète: on décoche longueur ou angle, on modifie sa valeur et on coche pour imposer la nouvelle valeur. On peut télécharger

(ou accompagne selon). Pourtant, elle montre la voie au coté passif de notre esprit: notre vision réelle ou physique comme notre conception des choses, elle en devient active. L’équerre est elle-même complexe, elle est l’aboutissement du théorème de Pythagore, la somme de la verticale et de l’horizontale, de l’abscisse et de l’ordonnée. Elle n’est pas égale dans ses proportions mais nous permet de l’obtenir pour nous- même. Ce n’est pas obligatoirement un outil qui aide au tracé mais est aussi la

u = 0 ou v = 0 ). (Considérer par exemple u (1 ; 2 ; 0) et v (2 ; −1 ; 0) pour s'en → → → → convaincre) • Si u et v sont colinéaires ( v = k u ) alors u . v = x.kx + y.ky + z.kz = k( x 2 + y 2 + z 2 ) = k | u | . → → → → → → → 2 Théorème 1 Autres expressions du produit scalaire → → 1. u.v= 1 → → 2 → 2 → 2 ( |u + v | −|u | −|v | ) 2 → → → → → → → → → → 2. Lorsque u ≠ 0 et v ≠ 0 , u . v = | u | . | v | . cos( u , v ) → → → → → → → → → 3. Lorsque u ≠ 0 , u . v = u . v ′

12 points) Partie 1 : Sur 5 points 1. (1 pt) Dans le triangle ABC : AB = 17,5 donc BC = 14 donc AC = 10,5 donc AB2 = 306,25 BC2 = 196 AC2 = 110,25 On a AC2 + BC2 = 110,25 + 196 = 306,25 Donc AC2 + BC2 = AB2 Donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en C. 2. (1 pt) P est un point du segment [BC]. On sait que : La parallèle à la droite (AC) passant par P coupe le segment [AB] en R. La parallèle à la droite (BC) passant par R coupe le segment [AC] en S. Donc

donc vraie. Affirmation 4 : Les points A, O, C d'une part et B, O, D d'autre part sont alignés dans le même ordre. On a :       et       Or,       et       , donc Si les droites (AB) et (CD) étaient parallèles, on aurait, d'après le théorème de Thalès, , ce qui n'est pas le cas, donc les droites (AB) et (CD) ne sont pas parallèles. L'affirmation 4 est donc fausse. exercice 2 1. 1 + 2 + 2 = 5 5 plantules ont une taille qui mesure au plus 12 cm. 2. 22 - 0 = 22 L'étendue

la notion de démonstration (en décidant par exemple de ce qu’est une implication, une équivalence...) ; ⋄ on décide enfin de qualifier de vraie toute affirmation obtenue en fin de démonstration et on appelle « théorème » une telle affirmation (vraie). A partir des axiomes, on obtient donc des théorèmes qui viennent petit à petit enrichir la théorie mathématique. En raison des bases (les axiomes) non démontrées, la notion de « vérité » des mathématiques est sujette à débat. 2 Vocabulaire usuel ⋄