Centres étrangers 2014. Enseignement spécifique
EXERCICE 2 (4 points) (commun à tous les candidats)
On définit, pour tout entier naturel n, les nombres complexes zn par : z0 = 16 zn+1 =

.
1+i
zn , pour tout entier naturel n.
2

On note rn le module du nombre complexe zn : rn = |zn |.
Dans le plan muni d’un repère orthonormé direct d’origine O, on considère les points An d’affixes zn .
1) a) Calculer z1 , z2 et z3 .
b) Placer les points A1 et A2 sur le graphique de l’annexe, à rendre avec la copie.
1+i
sous forme trigonométrique.
2
d) Démontrer que le triangle OA0 A1 est isocèle rectangle en A1 .
√
2
.
2) Démontrer que la suite (rn ) est géométrique, de raison
2
La suite (rn ) est-elle convergente ?
Interpréter géométriquement le résultat précédent.
c) Écrire le nombre complexe

On note Ln la longueur de la ligne brisée qui relie le point A0 au point An en passant successivement par les points
A1 , A2 , A3 , etc... n−1 Ainsi Ln =

Ai Ai+1 = A0 A1 + A1 A2 + . . . + An−1 An . i=0 3) a) Démontrer que pour tout entier naturel n : An An+1 = rn+1 .
b) Donner une expression de Ln en fonction de n.
c) Déterminer la limite éventuelle de la suite (Ln ).

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1

c Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés.
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FEUILLES ANNEXES
Annexe 1, exercice 2

8
6
A3

4
2
0

A4
−4

−2
A5
−2

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A6

A0
2

4

6

8

2

10

12

14

16

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Centres étrangers 2014. Enseignement spécifique
EXERCICE 2 : corrigé
1+i
× 16 = 8 + 8i.
1) a) • z1 =
2
1+i
• z2 =
× (8 + 8i) = 4(1 + i)2 = 4(1 + 2i − 1) = 8i.
2
1+i
× 8i = 4i(1 + i) = −4 + 4i.
• z3 =
2
z1 = 8 + 8i, z2 = 8i et z3 = −4 + 4i.
b)Figure.

8

A2

A1

6
A3

4
2

A4
−4

c)

A0

O
−2
A5
−2

A6

2

√
√
12 + 12
2
= puis 2
2
√
√
1+i
2 1+i
2
=
× √ =
2
2
2
2

4

6

8

10

12

14

16

|1 + i|
1+i
=
=
2
2

1
1
√ +√ i
2
2

=

√
2
π π cos
+ i sin
2
4
4

=

√
2 iπ e 4.
2

√
1+i
2 iπ
=
e 4.
2
2
d)
√
√
OA1 = |z1 | = |8 + 8i| = 8|1 + i| = 8 12 + 12 = 8 2
et