Théorème de Pythagore

définition fait partie du discours de PYTHAGORE - Iéros Logos. Tout d’abord le mot Logos signifie : raison, raisonnement et rapport. Que le jugement est la faculté de l’intelligence raisonnante, elle est la juste perception des rapports entre les idées ou les choses. Les grecs distinguent essentiellement deux types de nombres - Le “Nombre Pur” ou “Nombre Idée”, et le Nombre scientifique. Le premier est naturellement le modèle idéal du second. 1 PYTHAGORE traite de ce “Nombre Idée” ou “Nombre Pur”

AC coté opposé à ABC = coté adjacent à ABC AB Hypoténuse Côté opposé à ABC A Côté adjacent à ABC B Remarques : On peut prouver l’existence du sinus et de la tangente de la même façon qu’en quatrième. On avait alors utilisé le théorème de Thalès pour montrer l’existence du cosinus. On a aussi avec l’angle ACB : cos ACB = AC AB AB ; sin ACB = ; tan ACB = BC BC AC Il n’est pas toujours facile de retenir les trois formules ci-dessus, il est donc astucieux de trouver

BC 6 par conséquent le triangle ABH est rectangle en H et BH = = = 3. 2 2 D’après le théorème de Pythagore, on a : AH2 + BH2 = AB2 D’où AH2 = 62  32 = 36  9 = 27 Soit AH = 27 = 3  9 = 3  9 = 3 3 De plus, (AH) est un axe de symétrie du rectangle MNPQ, donc (MN) est parallèle à (AH). Par conséquent, les droites (MH) et (NA) se coupent en B et (MN) est parallèle à (AH), donc d’après le théorème de Thalès : BM BN MN x MN = = Soit = BH BA AH 3 3 3 x3 3 On en déduit : MN =

cette question en citant un théorème analogue concernant les angles correspondants ou un théorème analogue concernant les angles alternes-externes. EXERCICE 5 1) Figure complète (avec les tracés correspondant à la question 5) (1 point) 2) (2 points) [BC] est un diamètre d’un cercle. A est un point de ce cercle donc le triangle ABC est rectangle en A (« théorème du triangle inscrit dans un demi-cercle »). 3) (2,5 points) D’après le théorème de Pythagore appliqué au triangle ABC rectangle

points M tels que MA . Démonstration : III) Relations métriques dans un triangle Théorème : (Théorème de la médiane) : Soient A et B deux points et I le milieu du segment [AB]. 1 2 2 2 2 Alors pour tout point M, MA + MB =2 MI + AB 2 Démonstration : ̂ . Théorème : (Théorème d'Al-Kashi) : Soit un triangle ABC avec les notations ci-contre. Alors a 2=b 2 + c 2 −2 b c cos A Remarque : • Ce théorème généralise celui de Pythagore. ̂ ) • La propriété est encore vraie si on intervertit les lettres (ainsi on

professeur 2 Fiche élève 5 Narration de séance et productions d’élèves 6 Fiche professeur LE TIPI Niveaux et objectifs pédagogiques 3e : introduction au théorème de Thalès dans le cas de la configuration « papillon ». Pré-requis nécessaire : théorème de Thalès avec des triangles « emboités », niveau 4e. Ou 3e : réinvestissement du théorème de Thalès dans une configuration « papillon ». Modalités de gestion possibles Appropriation individuelle puis travail en groupes avec production écrite pour

La seconde solution est M2 le barycentre de (A,1)  (B, 2).  ‐2 ⎯⎯→ ⎯⎯→ 2 ⎯⎯→ 2 ⎯⎯→ ⎯⎯→ ⎯⎯→ Pour la construction : AM1 =    AB  = 2AB   et AM2 =  AB =    AB   1‐2 1+2 3 b) Soit M un point solution. AMB est rectangle en B avec AM=2MB. D’après le théorème de Pythagore, on a :  AB2+BM2 = AM2 donc 122+BM2=(2MB)2=4 BM2 donc 3BM2=144 donc BM2=144/3=48  BM étant positif, on obtient: BM= 48=4 3  On a donc deux solutions possibles : les deux points de la droite d situés à une distance de B égale à 4 3  c) Avec le logiciel

le triangle ABC est rectangle en B. Le plus long côté du triangle ABC est AC. D'une part, AC² = 12,5² = 156,25 D'autre part, AB² + BC² = 7,5² + 10² = 56,25 + 100 = 156,25 Nous constatons que AC² = AB² + BC², donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B. 3. a. Construire le point F appartenant au segment [AC] tel que CF = 5 cm. 3. b. Construire le point G appartenant au segment [BC] tel que CG = 4 cm. Le petit triangle GFC se trouve « à l'intérieur » du

après achat CD Achat BD Achat CD Argent de poche achat BD Reste 20€ Reste d’argent de poche Exercice 4 Calculer la hauteur SH de ce grenier arrondie au dixième de mètre. Dans le triangle ASH rectangle en H, on a d’après le théorème de Pythagore AS² = SH² + AH² 5,6² = SH² + 4,5² 31,36 = SH² + 20,25 SH² = 31,36-20,25 SH² = 11,11 SH ≈ 3,3 m arrondie au dixième La hauteur du grenier est d’environ 3,3 mètres. Exercice 5 Pour savoir si son mur est bien vertical, un maçon utilise

Triangle Trigonométries cos : côtés adjacent/ hypoténuse sin : côtés opposé/ hypoténuse tan : côtés opposé/ côtés adjacent Théorème de Pythagore et ça réciproque Théorème :Si un triangle ABC est rectangle en C alors AB² = AC² + BC². Réciproque : Si AB² = AC² + BC² alors le triangle ABC est rectangle en C. Théorème de Thalès et ça réciproque Théorème : Soit ABC, et deux points B et E des droites (AB) et (AC) de sorte que la droite (DE) soit parallèle à la droite (BC) alors AD/AB