Sîn

(𝐶) au point . 4- Exprimer 𝑐 en fonction de ⃗⃗⃗ et ⃗⃗ . Exercice N°3 Dans le plan xOy, une droite Oxʹ tourne autour de Oz avec une vitesse angulaire constante. Un mobile M se déplace sur la droite Oxʹ suivant la loi : r = a sin θ avec θ = ωt et a = cte. 1- Déterminer à l’instant t en fonction de a et ω, la vitesse relative et la vitesse d’entraînement de M par leurs projections dans le repère mobile xʹOyʹ. En déduire la vitesse absolue exprimée dans cette même base de projection

Produit scalaire et trigonométrie π Activité. La valeur du cosinus de 2 i 1. Les coordonnées des vecteurs EOA et EOB sont respectivement 2. 3. 4. 5. ΂ 122 ; 122 ΃ et ΂ 132 ; 12 ΃. ΂ π2 – x΃ + cos ΂ π2 + x΃ = cos π π π π cos x + sin sin x + cos cos x – sin sin x = 0. 2 2 2 2 –1 π Application 1 Le module est donné par la formule : |z| = 9a2 + b2 = 0(– 2)2 + (2)2 = 18. La mise en facteur du module donne alors : 1 1 12 12 +i = 18 – +i . z = 18 – 2 2 12 12 On place alors le point M sur le cercle

réel ∈ )− ; * tel que sin. / = 1) Déterminer la valeur exacte de cos. /. ∈4 ; ; − Exercice 8 1) Sachant que cos 6 7 = √ 8 ; − √ 1 √& . 5. Déterminer la valeur exacte de . , calculer la valeur de sin 6 7. ∈ )− ; * et sin. / = −0,6 ∈ )− ; 0* et sin. / = − Partie B : Angle orienté, mesure principale d’un angle Exercice 1 I O F E D Exercice 9 Dans chacun des cas suivants, déterminer cos. / 1) ∈ ) ; * et sin. / = 3) C et ! repérés par 2) En déduire cos 6 7 et sin 6 7 2) G A Exercice

de la forme : a0 + 2 ∞ an cos(nωx) + bn sin(nωx) (1) n=1 avec x ∈ R, ω > 0 , an , bn ∈ R, pour tout n dans N. Le problème est de déterminer l’ensemble ∆ tel que la série (1) soit convergente pour tout x ∈ ∆. Remarque 3.1.1 Supposons que la série (1) converge et posons f (x) = a0 + 2 ∞ an cos(nωx) + bn sin(nωx). n=1 Sachant que pour tous n ∈ N et k ∈ Z : cos (nω(x + 2kπ/ω)) = cos(nωx + 2nkπ) = cos(nωx) sin (nω(x + 2kπ/ω)) = sin(nωx + 2nkπ) = sin(nωx). 2kπ , k ∈ Z. ω 2kπ Si la série (1) converge

Lundi 21 Février 2011. Mathématiques. 1S1 et 1S2. 3 h. Calculatrice autorisée. EXERCICE 1. 6 points. f est la fonction définie sur IR par f(x) = sin x (1 + cos x). →→ Cf est la représentation graphique de la fonction f dans un repère orthogonal (O ; i , j ). 1. a. Montrer que f est périodique de période 2π. b. f est−elle paire ou impaire ? c. Expliquer pourquoi on peut restreindre l’étude de f à l’intervalle [0 ; π]. 2. Montrer que la fonction dérivée f’ de f est définie sur IR par f’(x) = 2 cos²x

[correction] Déterminer les primitives suivantes en procédant par un changement de variable adéquat : √ a) dt √ t + t3 ln tdt t + t(ln t)2 b) 1 e2t dt et + 1 c) π/2 0 [ 00290 ] [correction] sin t π dt = cos t + sin t 4 0 b) En déduire 1 √ 0 Exercice 2 Déterminer π/2 cos t dt = cos t + sin t dt 1 − t2 + t Exercice 7 [ 01986 ] [correction] Soit f : [a, b] → R continue telle que dt √ t t2 − 1 ∀x ∈ [a, b] , f (a + b − x) = f (x) Montrer que Exercice 3 [ 01983 ] [correction] Calculer

= cos x ; sin(3π + x) = – sin x ; 2 π cos(5π – x) = – cos x ; cos΂x – ΃ = sin x. 2 2 + 5π ΂6΃ M A’ 2. sin π ΂ 6΃ + A O 7π P 6 Q– B’ B M2(5π – x) M3 5π ΂2 ΃ –x M(x) π A ΂ 6΃ ΂ ΃ 86 J π 4 Application (page 197) EXERCICES 1 2 O M1(3π + x) ΂ M4 x – π 2 ΃ Donc : 5π π sin = 0. – x + sin(3π + x) + cos(5π – x) + cos x – 2 2 3 a) sin(x + π) + cos π – x + cos(π – x) + sin x 2 = –

cercle trigonométrique c associé à x. On appelle cosinus et sinus de x (noté cos x et sin x) les coordonnées de M dans le repère (O ; I , J) :  = cos x    sin x  OM OI OJ c Exemples et remarque : ● En notant que I 1,0 , J 0,1 , I '  – 1,0 et J ' 0, – 1 sont les   points de c respectivement associés à 0, ,  et – , on a 2 2     cos 0=1, sin 0=0 ; cos =0, sin =1 ; cos =– 1, sin =0 ; cos – =0, sin – =– 1 . 2 2 2 2     ● Quel que soit l'entier relatif k, les réels

que ci-dessus, si on appelle S l'aire du triangle, on a 1 ̂ . S = b c sin A 2 Remarque : • Il suffit donc de connaitre deux côtés et de l'angle qu'ils forment pour calculer l'aire d'un triangle. 1 ̂ ) • La propriété est encore vraie si on intervertit les lettres (ainsi, on a bien S = a c sin B 2 a b c = = Propriété : (Formule des sinus) : Avec les mêmes notations que ci-dessus, . ̂ ̂ sin A sin B sin Ĉ ̂ ̂ ̂ sin A sin B sin C = = Remarque : • On écrit aussi parfois a b c • Il suffit de connaître

lumière 2. Enoncé des deux lois de Descartes Première loi de Descartes : Le rayon réfracté est dans le plan d’incidence. Deuxième loi de Descartes : L’angle d’incidence i1 et l’angle de réfraction i2 vérifient la relation suivante : n1 . sin i1 = n2 . sin i2 n1 est l’indice de réfraction du milieu 1. n2 est l’indice de réfraction du milieu 2. L’indice de réfraction n caractérise un milieu transparent où n est un nombre sans unité, supérieur ou égal à 1. Indice de réfraction de différents milieux