Sîn

M(x) sin(x) tan(x) cos(x) • M est un point du cercle trigonométrique. → − − −→ x est une mesure en radian de l’angle ( i , OM). cos(x) est l’abscisse de M, sin(x) est l’ordonnée de M. • Si x n’est pas de la forme 1 π + kπ, k ∈ Z, 2 sin(x) tan(x)= . cos(x) O • Pour tout réel x, cos2 (x) + sin2 (x) = 1. 1 π = 1 + tan2 (x). Si x n’est pas de la forme + kπ, k ∈ Z, 2 cos2 (x) Arcs associés Tour complet 1 1 Angle opposé 1 Demi-tour cos(x + π) = − cos(x) x 1 x 1 sin(x + 2π)

369) d’où b 2 c 2 sin2 A = 4p ( p – a ) ( p – b ) ( p – c ) . 1 2. Or S = -- bc sin A 2 donc S = p ( p – a ) ( p – b ) ( p – c ) . 2 O B H A 1. HOC = A donc HC = OC sin A a ou -- = R sin A et a = 2R sin A . 2 C 2. Avec l’angle obtus la démonstration est identique. 3. On a de même b = 2R sin B et c = 2R sin C a b c -------------- = ------------- = ------------- = 2R d’où de plus sin A sin B sin C 1 abc S = -- bc sin A = -------- . 2 4R 3 aire ( ABC ) = 1 BC × IH + 1 AC × IK --2 2 1 1 + -- AB ×

suivantes sur R : x = a + k 2π ou x = − a + k 2π avec k ∈ Z • L’équation sin x = sin a admet comme solutions suivantes sur R : x = a + k 2π ou x = π − a + k 2π avec k ∈ Z Exemple : Résoudre dans R les équations suivantes : √ √ a) 2 cos x − 1 = 0 b) 2 sin x − 3 = 0  1 π cos x = √ ⇔ cos x = cos 4 2 π π On obtient les solutions : x = + k 2π ou x = − + k 2π avec k ∈ Z 4 4 √ √ π 3 ⇔ sin x = sin b) 2 sin x − 3 = 0 ⇔ sin x = 2 3 On obtient les solutions : π 2π π + k 2π avec k ∈ Z x = + k

fonctions trigonométriques inverses. ------------------------------------------------- Fonctions trigonométriques dans un triangle rectangle.Sinus de A = sin A = a/cCosinus de A = cos A = b/cTangente de A = tan A = a/bCotangente de A = cotan A = b/a  ------------------------------------------------- Formules fondamentales :sin²x + cos²x = 1tan x = sin x/cos x------------------------------------------------- Fonctions trigonométriques dans un triangle quelconque.c² = a² + b² - 2ab cos Coù s est le demi

3 m AB = m BC m AD m DE Plusieurs réponses sont possibles. Exemple : Plan ≈ G (voir au bas de la page) H On peut obtenir la valeur de tan A en divisant la valeur de sin A par la valeur de cos A. , page 165 Angle A 10° 20° 30° 40° 50° 60° 70° 80° sin A 0,1736 0,3420 0,5000 0,6428 0,7660 0,8660 0,9397 0,9848 cos A 0,9848 0,9397 0,8660 0,7660 0,6428 0,5000 0,3420 0,1736 tan A 0,1763

------------------------------------------------- 3 h. ------------------------------------------------- Calculatrice autorisée. ------------------------------------------------- EXERCICE 1. 6 points. f est la fonction définie sur IR par f(x) = sin x (1 + cos x). Cf est la représentation graphique de la fonction f dans un repère orthogonal (O ;,). 1. a. Montrer que f est périodique de période 2. b. f estelle paire ou impaire ? c. Expliquer pourquoi on peut restreindre l’étude de

expressions de sin(4θ ), cos(4θ ). - (1 point) cos(4θ ) = cos 2 (2θ ) − sin 2 (2θ ) cos(4θ ) = (cos 2 θ − sin 2 2θ ) 2 − (2 sin θ cosθ ) 2 cos(4θ ) = cos 4 θ − 2 sin 2 θ cos 2 θ + sin 4 θ − 4 sin 2 θ cos 2 θ cos(4θ ) = cos 4 θ − 6 sin 2 θ cos 2 θ + sin 4 θ sin(4θ ) = 2 sin(2θ ) cos(2θ ) sin(4θ ) = 4 sin θ cosθ (cos 2 θ − sin 2 θ ) sin( 4θ ) = 4 sin θ cos3 θ − 4 sin 3 θ cos θ 2.2 – Retrouver les expressions de sin(4θ ), cos(4θ ) en utilisant la formule de Moivre - (1 point) (cosθ + i sin θ ) 4 = cos(4θ

Relations fondamentales tan(x) = sin(x)/cos(x) Petite astuce de Nelly: Pour se souvenir de la formule précédente, perso je me dis que tangente c'est Soleil sur Carottes ! D'où sin sur cos...si ça peut aider! sin²(x) + cos²(x) = 1 sin²(x) = tan²(x) / (1 + tan²(x)) cos²(x) = 1 / (1 + tan²(x)) 1.2/ Transformations remarquables sin(2 + x) = sin(x) cos(2 + x) = cos(x) tan(2 + x) = tan(x) sin( -x) = - sin(x) cos( -x) = cos(x) tan( -x) = - tan(x) sin( - x) = sin(x) cos( - x) = - cos(x) tan( -

transformée de Fourier ���� . 2) a) En utilisant la formule d’inversion, calculer pour tout réel �� l’intégrale dépendant du paramètre �� : +∞ �� �� = −∞ sin ���� . �� ������ . ���� �� b) En déduire la valeur de l’intégrale : +∞ �� = 0 sin �� . ���� �� c) En utilisant l’égalité de Plancherel, calculer l’intégrale : +∞ �� = 0 sin �� �� 1 2 2 . ���� Calculer le produit de convolution de ��1 par 2 3) a) On se place dans le cas où �� = . 2 2 lui-même : ��1 ⋆ ��1 b)

cos(– α) = cos(α) sin(– α) = – sin(α) cos(π + α ) = – cos(α) sin(π + α) = – sin(α) cos(π –α) = – cos(α) sin(π–α) = sin(α) $! ' " # ) = sin(α) %2 ( cos % #! & + " ( = – sin(α) $2 ' $! ' " # ) = cos(α) %2 ( sin % cos & #! & + " ( = cos(α) $2 ' sin & Les huits formules basiques cos2(α) + sin2(α) = 1 (1) 1 (en divisant par cos2(α)) 1 + tan2(α) = (en divisant par sin2(α)) 1 + cotan2(α) = sin(a + b) = sin(a).cos(b) + sin(b).cos(a) (3) cos(a + b) = cos(a).cos(b) – sin(a).sin(b) (4) cos 2