Sîn

Compte-rendu TP3 Robotique Version 1.6 Auteurs Compte rendu du TP3 sur la robotique Sommaire I – Présentation .................................................................................................................................. 4 II – Pilotage par joystick ...................................................................................................................... 5 A – Premier programme ...................................................................

i = 0... n Lim Alors on a: P0 P1 + P1 P2 + ⋯ + Pn Pn +1 = long ( L) diam ( P0 P1 ... Pn+1 ) →0 P0 P1 + P1P2 + ⋯ + Pn Pn +1 < long ( L) et: ∀n ∈ N/ en notant Ci,k l'arc de grand cercle joignant Pi et Pk, on a: long (Ci ,i +1 ) PP i i +1 = 2 sin 2 PP 3 donc: long (Ci ,i +1 ) = 2 arcsin i i +1 = PP quand diam( P0 P1...Pn +1 ) → 0 i i +1 + O ( PP i i +1 ) 2 ( ( ) ) ( Ainsi: P0 P1 + ⋯ + Pn Pn +1 = long (C0,1 ) + O ( P0 P1 ) + ⋯ + long (Cn ,n +1 ) + O ( Pn Pn+1 ) ( P0 P1 ) 3 3 3 ) +

cos(a - b) = cos a cos b + sin a sin b Démonstration: Sur le cercle trigonométrique, on nomme E, le point d’intersection du cercle avec les abscisses A, le point tel que l’amplitude de EÔA égale a B, le point tel que l’amplitude de EÔB égale b D, le point tel que l’amplitude de EÔD égale a - b Il s’ensuit que les coordonnées De E sont (1 ; 0) De A sont (cos a ; sin a) De B sont (cos b ; sin b) De D sont (cos (a - b) ; sin (a – b)) D’autre part, BÔA

fonctions trigonométriques  M sin α On suppose le plan euclidien muni d’un repère orthonormé (O, ı, ). On appelle cercle trigonométrique le cercle C de centre O et de rayon 1. Pour α ∈ R, on note (cos α, sin α) les cordonnées de l’unique point # – M de C tel que (ı, OM) ≡ α[2π]. Proposition 2.1 Périodicité Les fonctions sin et cos sont 2π-périodiques : ∀(α, k) ∈ R × Z, http://laurentb.garcin.free.fr cos(α + 2kπ) = cos(α) sin(α + 2kπ) = sin(α) 2 α O cos α ı ©

l’énoncé cos α = sin α = tan α = cos β = sin β = tan β = cos ABC = sin ABC = tan ABC = cos ACB = sin ACB = tan ACB = cos a = sin a = tan a = cos b = sin b = tan b = Exercice n°2. Soit ABC un triangle rectangle en A tel que AB=3 et ABC = 30° . Calculer BC et AB Exercice n°3. Les dimensions du triangle OBM sont données sur la figure : Entourer parmi les données suivantes, celles qui sont correctes OB = 2 3 sin BOM = 1 3 2 cos BOM = 3 sin BMO = 1 3

rad | 0°0 | 30° /6 | 45°/4 | 60°/3 | 90°/2 | sin | 0 | | | | 1 | cos | 1 | | | | 0 | tan | 0 | | 1 | | non défini | * cos(x) = sin(x) = 1 = sin²() + cos²() * sin(-) = -sin() sin(+ ) = -sin() sin(-) = sin() * cos(-) = cos() cos(+ ) = -cos() cos(-) = -cos() * tan(-) = -tan() tan(+ ) = tan() tan(-) = -tan() * sin() = cos() sin() = cos() * cos() = -sin() cos() = sin() * * Formules de transformations produits-sommes

que OA; OM = θ Par définition, on a : cos θ = abscisse de M sin θ = ordonnée de M ( © http://www.bacdefrancais.net Angles orientés - trigonométrie Page 8 sur 20 1 j M s in θ θ O A cos θ i 1 Remarquons également que OM = i cos θ + j sin θ Remarquons qu’on retrouve les définitions du sinus et du cosinus dans le triangle rectangle : côté adjacent = côté adjacent car OM = 1 . hypothénuse côté opposé sin θ = = côté opposé car OM = 1 . hypothénuse cos θ = Remarque

ix cos(x) sin(x) tan(x) 1 0 0 √ √ 3 2 √ 2 2 1 2 1 2 √ 2 2 √ 3 2 3 3 0 −ix 1 ix 1 √ 3 ±∞ −ix Il faut savoir linéariser à l’aide des formules d’Euler cos(x) = e +e et sin(x) = e −e ; de même, 2 2i développer se réalise à partir des formules de Moivre einx = (cos(x) + i sin(x))n = cos(nx) + i sin(nx). Formules d’addition cos(a + b) = sin(a + b) = tan(a + b) = cos(a) cos(b) − sin(a) sin(b) sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b) tan(a)+tan(b) 1−tan(a) tan(b) cos(a − b) = sin(a − b) = tan(a

remarquables x sin(x) cos(x) tan(x) 0 0 1 0 π/ 6 1/ 2 π/ 4 π/ 3 π/ 2 1 0 Non déf 2 /2 2 /2 1 3 /2 1/ 2 3 /2 1/ 3 3 Relations fondamentales sin 2 ( x) + cos 2 ( x) = 1 1 + tan 2 ( x) = 1 cos 2 ( x) tan( x) = sin( x) 1 = cos( x ) cot an( x) 1 1 + cot an 2 ( x ) = sin 2 ( x ) Sommes & Produits sin( a + b) = sin( a ). cos( b) + sin( b). cos( a) sin( a − b ) = sin( a ). cos(b ) − sin( b). cos( a ) cos( a + b ) = cos( a ). cos(b ) − sin( a ). sin( b) cos( a − b) = cos( a). cos(b) + sin( a ).

efinition. Soit x un nombre r´eel quelconque. On d´efinit les nombres cos(x) et sin(x) au moyen de la proc´edure suivante : (i) Sur le cercle unit´e centr´e a` l’origine, mesurer un angle de x radians ; soit (u, v) le point du cercle d´etermin´e de cette mani`ere. (On commence `a mesurer l’angle `a partir de l’axe horizontal positif.) (ii) D´efinir cos(x) = u et sin(x) = v. 1.2. Exemple. Trouver les valeurs de cos(−5π/2) et sin(−5π/2) (sans la calculatrice). Solution : suivons les ´etapes (i) et (ii)