Sîn

cos(x) . 10 − 7 sin(x) 7 − 8 sin(x) . − cos(x) − 10 3 5 − π; − arcsin f : x −→ 9 sin(x) + 7 . 10 sin(x) + 6 2 Exercice 4 E = arccos − 2 ; 2π − arccos − 3 3 f : x −→ Exercice 5 E = ]−π; π[ f : x −→ 8 − 8 cos(x) . 3 cos(x) + 2 7 cos(x) − 2 . −3 cos(x) − 3 6 Exercice 6 E = arccos − 6 ; 2π − arccos − 7 7 f : x −→ Exercice 7 E = arcsin 3 5 10 − 8 sin(x) . −7 cos(x) − 6 3 5 − π; − arcsin f : x −→ Exercice 8 E = R f : x −→ 7 − 2 sin(x) . 10 sin(x) + 6 6 sin(x) − 1 . 8

(OM) J sin x alors tan x = IH . –1  cos x  1 tan x M –1  sin x  1 cos(–x) = cos x Cette définition prolonge celle déjà connue x dans le triangle rectangle. En effet, lorsque x est une mesure d'un angle aigu, on a dans O cos x I le triangle OIH rectangle en I : tan x = (la fonction cosinus est paire) sin(–x) = –sin x (la fonction sinus est impaire) IH IH = = IH OI 1 J' Exercice : par un raisonnement géométrique, démontrer que : sin x  x 

𝑎 sin A = 𝑏 sin B = 𝑐 sin C • La loi des sinus permet de déterminer la mesure  : − d’un côté si l’on connaît la mesure de deux angles et la mesure d’un côté ; − d’un angle si l’on connaît les mesures de deux côtés et la mesure d’un angle opposé à l’un des deux côtés. Exemples : 1) Dans le triangle ci-dessous, on peut déterminer la mesure du segment AB de la façon suivante. 𝑐 sin C = 𝑏 sin B 𝑐 sin 42° = 7,2 sin 29° 𝑐 = 7,2 × sin 42° sin

x, x  2 x cos 2 x  sin 2 x  1 cos a  b  cos a cos b sin a sin b ...sin a  b  sin a cos b  cos a sin b cos a b  cos a cos b  sin a sin b. . . sin a b  sin a cos b cos a sin b tan a tan a  b  1tan atan bb et tan a b  1tan atan bb (là où tout est défini) tan a tan tan a/Hommage aux grands ancètres: qui donnent: b/ cos 2x  cos 2 x sin 2 x  2 cos 2 x 1  1 2 sin 2 x , cos 3x  4 cos 3 x sin 2x  2 sin x cos x , sin 3x  3 sin x 4 sin 3 x x tan 3 tan 2x  12 tan 2 x ,

et OJ. • Le cosinus de l’angle orienté α est l’abscisse de son point image dans le cercle trigonométrique. Il se note cos α. • Le sinus de l’angle orienté α est l’ordonnée son point image dans le cercle trigonométrique. Il se note sin α. J P sin α P (cos α, sin α) α cos α P I Conséquence ☛ ✟ Le sinus et le cosinus d’un angle orienté sont compris entre -1 et 1. ✡ Remarque 9 ✠ 1.3. SINUE ET COSINUS CHAPITRE 1. DÉFINITIONS On évitera de dire que le sinus

retard à mon concert. Si l’aiguille est sur [OB], il est 14 h 23 min et je serai à l’heure. Quand le train a quitté la gare, il était 14 h 23 min. a) sin qA = BC 3,6 = = 0,8. AC 4,5 b) Avec la calculatrice qA ≈ 53. MP donc PN MP 8 PN = ≈ 10,2 mm. = sin qN sin 52° sin qN = MP 8 donc MN = PN × cos qN = × cos 52° PN sin 52° ≈ 6,3 mm. cos qN = 2. Activités d’approche a) jIOM 180° 90° 60° 45° 30° 0° ២ IM 1. Vérifier les acquis π π 2

de M est appelée cosinus de x, elle est notée cos x ou cos(x). ● l'ordonnée de M est appelée sinus de x, elle est notée sin x ou sin(x). Propriété Pour tout réel x, on a x sin x x cos x 1 (voir démonstration 01) - 1 £ cos x £ 1 : - 1 £ sin x £ 1 ; ; Valeurs particulières (voir démonstration 02) x 0 π 6 π 4 π 3 π 2 sin x 0 1 2 2 2 3 2 1 0 -1 0 cos x 1 3 2 2 2 1 2 0 -1 0 1 π 3π

forme : a0 + 2 ∞ an cos(nωx) + bn sin(nωx) n=1 (1) avec x ∈ R, ω > 0 , an , bn ∈ R, pour tout n dans N. Le problème est de déterminer l’ensemble ∆ tel que la série (1) soit convergente pour tout x ∈ ∆. Remarque 3.1.1 Supposons que la série (1) converge et posons a0 f (x) = + 2 ∞ an cos(nωx) + bn sin(nωx). n=1 Sachant que pour tous n ∈ N et k ∈ Z : cos (nω(x + 2kπ/ω)) = cos(nωx + 2nkπ) = cos(nωx) sin (nω(x + 2kπ/ω)) = sin(nωx + 2nkπ) = sin(nωx). 2kπ , k ∈ Z. ω 2kπ Si la série (1)

rectangle. En effet, lorsque x est une mesure d'un angle aigu, on a dans le triangle OIH rectangle en I : tan x = IH IH = = IH OI 1 O x cos x I sin x J M tan x RAPPELS –1  cos x  1 –1  sin x  1 cos(–x) = cos x (la fonction cosinus est paire) sin(–x) = –sin x (la fonction sinus est impaire) J' Exercice : par un raisonnement géométrique, démontrer que : sin x  x  tan x pour tout x Î [0 ; p [. 2 I) Fonction périodique Définition : Soit ¦ une fonction définie sur un domaine D¦ et T un nombre

trigonométrie circulaire K cotan(x) B M H sin(x) x cos(x) = abscisse de M tan(x) sin(x) = ordonnée de M 1 cos(x) A tan(x) = AH cotan(x) = BK eix = zM sin(x) cos(x) π 1 π + πZ, tan(x) = et pour x ∈ πZ, cotan(x) = / . Enfin pour x ∈ Z, cotan(x) = / . 2 cos(x) sin(x) 2 tan(x) Valeurs usuelles. Pour x ∈ / x en ◦ x en rd 0 30 45 60 90 0 π 6 π 4 π 3 √ 3 2 π 2 sin(x) 0 cos(x) 1 tan(x) 0 cotan(x)