Année universitaire 2021/2022
TD2-Analyse 2 : Intégrales généralisées
Exercice 1 :
Les intégrales impropres suivantes sont-elles convergentes ?
1.
∫ 1
0
ln tdt 2.
∫ +∞
0
e−t
2
dt
3.
∫ +∞
0
x(sinx)e−xdx 4.
∫ +∞
0
(ln t)e−tdt
5.
∫ 1
0
dt
(1− t)
√
t
Exercice 2 :
Montrer la convergence et calculer la valeur des intégrales suivantes :
1)
∫ +∞
3
dx
(x− 2)3/2
2)
∫ 1
−1
dx√
1− x2
3)
∫ b a 1√
(x− a)(b− x) dx, a, b ∈ R, a < b
4)
∫ 1
0
lnx√
1− x dx 5)
∫ +∞
0
e−xxndx, n ∈ N 6)
∫ Π/2
0
ln(sinx) dx
Exercice 3 : …afficher plus de contenu…

1.
∫ +∞
0
dt et − 1
2.
∫ +∞
0
te−
√
t
1 + t2 dt 3.
∫ 1
0
cos2
(
1 t ) dt Exercice 4 :
Les intégrales impropres suivantes sont-elles convergentes ?
1.
∫ +∞
0
ln t t2 + 1 dt 2.
∫ +∞
1
√ lnx (x− 1)
√
x dx 3.
∫ +∞
1
e−
√
ln tdt
Exercice 5 :
Pour α, β ∈ R, on souhaite déterminer la nature de ∫ +∞ e dx xα(lnx)β .
1. On suppose α > 1. En comparant avec une intégrale de Riemann, démontrer que l'intégrale étudiée est convergente.
2. On suppose α = 1. Calculer, pour X > e,
∫ X e dx …afficher plus de contenu…

En déduire les valeurs de β pour lesquelles l'intégrale converge.
3. On suppose α < 1. En comparant à 1/t, démontrer que l'intégrale étudiée diverge.
Exercice 6 :
1. Montrer que les intégrales impropres
∫ +∞
1
sin t t dt et
∫ +∞
1
cos t t dt sont convergentes.
On souhaite prouver que la fonction sin t t n'est pas intégrable, c'est-à-dire que
∫ +∞
1
∣∣∣∣ sin tt
∣∣∣∣ dt diverge.
1Année universitaire 2021/2022
2. Méthode 1. Prouver que, pour tout t ∈ R, | sin t| ≥ 1− cos 2t
2
. En déduire le résultat.
3. Méthode 2. Prouver que, pour tout k ∈ N,∫ (k+1)π kπ | sin t| t dt ≥ 1
(k + 1)π
∫ π
0
| sin t|dt.
Retrouver alors le résultat.
Exercice 7 :
Etudier les intégrales suivantes où (α, β) ∈ R2 :∫ 1
0
xa lnx dx, a ∈ R;
∫ +∞
0
x
(1 + x)α dx, α ∈ R;
∫ +∞
0
e−xxα sin3 xdx, α ∈ R;∫ +∞