Nombres complexes I

L’objectif de ce premier chapitre sur les nombres complexes est de rappeler les connaissances de terminale concernant l’ensemble C des nombres complexes et de donner quelques compl´ments utiles pour le prochain chapitre portant e sur la r´solution d’´quations diff´rentielles. e e e I

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Forme algebrique d’un nombre complexe

L’ensemble C des nombres complexes contient l’ensemble des nombres r´els R et poss`de un ´l´ment not´ i e e ee e v´rifiant i2 = −1. De plus, C est muni d’une addition et un produit qui suivent les r`gles de calcul habituelles. e e
Attention ! En physique le nombre i est not´ j, la lettre i pouvant repr´senter une intensit´. e e e 1.

Partie r´elle et imaginaire e Un nombre complexe se repr´sente grˆce ` sa forme alg´brique : e a a e Rappel 1 Tout nombre complexe z s’´crit de mani`re unique sous la forme e e z = a + i b avec (a, b) ∈ R2

(1)

Les r´els a et b sont respectivement appel´s partie r´elle et partie imaginaire de z. e e e • les parties r´elle et imaginaire d’un nombre complexe se notent Re(z)et Im(z) respectivement ; e • un nombre complexe z est r´el si Im(z) = 0 ; e • un nombre complexe z est un imaginaire si Re(z) = 0 ; un imaginaire pur si Re(z) = 0 et z = 0.
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Egalit´ entre nombres complexes e Propri´t´ 1 Soient z et z des nombres complexes. e e
On a z = z si et seulement si Re(z) = Re(z ) et Im(z) = Im(z )

R`gles de calcul e Comme dit plus haut, les r`gles d’addition et de multiplication dans C sont les mˆmes que dans R. Ainsi si e e z = a + i b avec (a, b) ∈ R2 et z = a + i b avec (a , b ) ∈ R2 sont deux nombres complexes, on trouve z+z zz

=

a + a + i (b + b )

= a a − b b + i(a b + b a )

la forme alg´brique de z z s’obtenant en d´veloppant le produit (a + i b) (a + i b ) et en utilisant la r`gle i2 = −1. e e e Exercice 1. D´terminer la forme alg´brique des nombres complexes suivants : e e
(1 + i)2

=

(1 + i) (1 − i)