Sîn

Bernoulli pensait que toute solution peut s'obtenir comme superposition d'une série d'harmoniques, par exemple y(x,t) = ∑ bn sin n=1 ∞ nct nx cos dans le cas l l où les deux extrémités de la corde sont fixées. Or dans le cas où la position initiale est donnée par une condition y(x,0) = ϕ(x), ceci implique que ϕ(x) puisse se développer en série trigonométrique nx ∑ bn sin l . A l'époque, ceci paraissait impossible, l'argument principal étant par exemple qu'une n=1 fonction non périodique ne pouvait

ê 0; ú : ë 2û cos(q) = OH a = Z OM et sin(q) = HM b = OM Z OH a < 0 (-a ) a HM b ùp ù Cas où q Î ú ; pú : cos(q) = -cos(p - q) = = = et sin(q) = = Z OM Z OM Z û2 û Axe des imaginaires purs Axe des imaginaires purs b |Z| ® M(Z) M(Z) |Z| b e2 O ® q = arg(Z) H a Axe des réels H a p-q O q = arg(Z) ® Axe des réels e1 e1 Dans les cas où q est négatif, on raisonne de même, en tenant compte du fait que sin(-q) = -sin(q) et HM = -b. Bref, dans tous les cas

+ z + z2 = e3iθ/2 2i sin(3θ/2) sin(3θ/2) iθ = e . sin(θ/2) eiθ/2 2i sin(θ/2) Il faut maintenant faire attention aux signes ! – Si θ ∈]0, 2π/3[, alors sin(3θ/2)/ sin(θ/2) > 0, et donc le module de 1 + z + z 2 est bien sin(3θ/2) sin(θ/2) , son argument est θ. – Si θ = 2π/3, 1 + z + z 2 = 0, de module nul et d’argument non défini. – Si θ ∈]2π/3, π[, alors sin(3θ/2)/ sin(θ/2) < 0, et donc on doit écrire 1 + z + z2 = − sin(3θ/2) sin(3θ/2) i(θ+π) × (−1) × eiθ = − e . sin(θ/2) sin(θ/2) Le module dans

. ⟹ = ‖ ⃗‖ + . = − ‖ ⃗ ‖. = ⟹ −‖ ⃗ ‖ 2. : . = ∶ 1+ + . + . −‖ ⃗ ‖ (1 + 2. + − ‖ ⃗‖ 2. . sin . . +1 =0 + +1=0 −‖ ⃗ ‖ . 2. . sin .D+ D = 0 + ). + .x + . ‖ ⃗‖ . ‖ ⃗‖ 2. − ∶ . ). ⃗ + ‖ ⃗‖ .x − y = 0 ⟹ 1 . sin . −‖ ⃗ ‖ 2. . ⟹ = .⃗⟹ ⃗= ⃗ ). ⃗ = − ‖ ⃗ ‖. . ⟹ . . + ⟹ Alors : .⃗ = : ⃗ = . ⃗ + (− ‖ ⃗ ‖). ⃗ , ⃗= ⃗ ⟹

chercher la valeur de l’angle (figure 2.4). Raisonnons à partir du triangle ACD de la figure 2.5 : sin sin = = CD CD = AC V V V = 2 sin sin CD CD = BC V2 (2.3) = V 2 .sin V .sin C V2 V E 0 A V1 B D De même dans le triangle BEC nous avons : sin sin A.FIZAZI BE BC BE = AB = V2 V = 1 sin sin Univ-BECHAR V2 .sin = V1.sin (2.4) LMD1/SM_ST 19 Rappel sur le calcul vectoriel De (2.3) et (2.4) nous pouvons

que f (x) = y . [ 01741 ] Exercice 5 Etudier les limites en (0, 0) des fonctions suivantes : sin a) f (x, y) = √ 2 xy 2 b) f (x, y) = c) f (x, y) = x = e d) f (x, y) = shxshy x+y x +y 1−cos(xy) xy 2 y y ln x [ 00068 ] Dérivées partielles Exercice 10 Calculer les dérivées partielles des fonctions suivantes : a) f (x, y) = xy (avec y > 0)b) f (x, y) = x2 + y 2 c) f (x, y) = x sin(x + y). [ 01742 ] Mathématiques Sup et Spé : [http://mpsiddl.free.fr] dD Enoncés 2 [ 01748

+ z + z2 = e3iθ/2 2i sin(3θ/2) sin(3θ/2) iθ = e . sin(θ/2) eiθ/2 2i sin(θ/2) Il faut maintenant faire attention aux signes ! – Si θ ∈]0, 2π/3[, alors sin(3θ/2)/ sin(θ/2) > 0, et donc le module de 1 + z + z 2 est bien sin(3θ/2) sin(θ/2) , son argument est θ. – Si θ = 2π/3, 1 + z + z 2 = 0, de module nul et d’argument non défini. – Si θ ∈]2π/3, π[, alors sin(3θ/2)/ sin(θ/2) < 0, et donc on doit écrire 1 + z + z2 = − sin(3θ/2) sin(3θ/2) i(θ+π) × (−1) × eiθ = − e . sin(θ/2) sin(θ/2) Le module dans

associons les quantités suivantes : • nous noterons θ une mesure de l’angle orienté ( −→ OI, −−→ OM) ; • le cosinus de θ, noté cos(θ), correspondra à l’abscisse du point M ; • le sinus de θ, noté sin(θ), correspondra à l’ordonnée du point M .60 CHAPITRE 7. TRIGONOMÉTRIE ET ANGLES ORIENTÉS OO II JJ MM θ cos(θ) sin(θ) Voyons quelques propriétés de ces nouvelles fonctions. Tout d’abord, il est important de calculer quelques valeurs remarquables de ces fonctions.7.3. FONCTION COSINUS ET SINUS D’UN ANGLE ORIENTÉ

souvenir que c’est un abus de notation. e Primitives de fonctions usuelles f (x) dx f (x) α+1 x 1 x α+1 1 λx ax (a > 0, a = 1) λe 1 sin ωx ω sin ωx sh x sh x 1 Arctan x a2 + x2 Arcsin x 1 ln | tan x | cos x 2 1 tan x sin2 x 1 th x sh 2 x Argch x −Argch (−x) √ 2 + 1) = Argsh x ln(x + x ln x + x2 − 1 = √ f (x) xα (α ∈ R, α = −1) eλx cos ωx ch x 1 1 + x2 √ 1 1 − x2 1 sin x 1 = 1 + tan2 x cos2 x 1 = 1 − th 2 x ch 2 x √ 1 x2 − 1 √ 1 1 + x2 f (x) dx ln |x| 1 x ln a a −1 cos ωx ω ch x 1 Arctan x a a

celle de (un ) et ıne +∞ k=1 1 3p , ap 2 . 1 uk = − 2 +∞ k=1 1 ak = − ln(3) = ln 2 sin(kα) k 1 √ 3 1.3 Etude des s´ries e cos(kα) k et k≥1 . k≥1 3.1 Sn (t) est la somme partielle d’une s´rie g´om´trique de raison eit = 1 et on a donc e e e Sn (t) = 3.2 On a, pour t = 0[2π], ϕ(t) = e−it − 1 cos(t) − 1 sin(t) = −i it − 1|2 2 + sin(t)2 |e (cos(t) − 1) (cos(t) − 1)2 + sin(t)2 eit − (eit )n+1 = ϕ(t)(ei(n+1)t − eit ) 1 − eit ϕ est donc une fonction de classe C 1 sur